[论文解读] Fluid limit of a heavily loaded EDF queue with impatient customers

Laurent Decreusefond, Pascal Moyal|ArXiv.org|Dec 30, 2005

Advanced Queuing Theory AnalysisBusiness, Management and Accounting参考文献 8被引用 16

一句话总结

本文通过使用测量值过程追踪剩余时间信用，建立了重载最早截止时间优先（EDF）队列中不耐烦客户行为的流极限。证明流极限满足一个积分传输方程，从而可通过确定性流水平过程近似归一化的等待和丢失客户数量。

ABSTRACT

In this paper we present the fluid limit of an heavily loaded Earliest Deadline First queue with impatient customers, represented by a measure-valued process keeping track of residual time-credits of lost and waiting customers. This fluid limit is the solution of an integrated transport equation. We then use this fluid limit to derive fluid approximations of the processes counting the number of waiting and already lost customers.

研究动机与目标

• 分析在客户具有截止时间且可能因未及时服务而离开的重载EDF队列的流极限。
• 通过追踪等待和丢失客户剩余时间信用的测量值过程对系统进行建模。
• 在重交通条件下，推导等待和丢失客户数量的确定性流近似。
• 通过传输方程，严格建立随机排队过程与其流尺度极限之间的联系。

提出的方法

• 将系统建模为测量值马尔可夫过程，其中每个客户以单位质量表示其剩余时间信用。
• 推导该过程的无穷小生成元，包含到达、离开以及以单位速率持续减少时间信用的机制。
• 使用分布微积分严格定义由时间信用持续减少引起的空间导数项。
• 将流极限定义为由生成元导出的积分传输方程的解。
• 对过程进行归一化，并在测度的函数空间中证明其弱收敛到确定性流极限。
• 将流极限应用于近似归一化过程，以计数等待和丢失的客户数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在重载条件下，具有不耐烦客户的EDF队列的流尺度行为是什么？
• RQ2 如何将剩余时间信用过程建模为具有连续衰减机制的测量值马尔可夫过程？
• RQ3 描述系统在流尺度下平均行为的极限确定性方程是什么？
• RQ4 如何利用流极限来近似等待和丢失客户数量？
• RQ5 流极限与M/GI/∞和具有不耐烦特性的M/M/1队列的已知结果之间存在何种关系？

主要发现

• 具有不耐烦客户的EDF队列的流极限是涉及空间导数项的积分传输方程的解，该空间导数项源于时间信用的持续衰减。
• 归一化等待客户数量的流极限收敛于由 $\left(1 + (\lambda - \mu)t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \leq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}} + \lambda d \, \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$ 给出的过程。
• 归一化丢失客户数量的流极限收敛于 $\left(1 + \lambda(t - d) - \mu t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$。
• 当服务速率设为零时，流极限恢复了M/GI/∞系统的已知结果，证实了与先前工作的自洽性。
• 流近似为EDF系统中损失概率评估提供了一种可处理的、确定性的替代方法，优于数值模拟。
• 该方法可推广至一般服务时间分布，并允许在重载条件下对性能度量进行渐近分析。