[论文解读] Fold cobordisms and stable homotopy groups

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Apr 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

该论文证明了从 (n+q)-流形到 R^n 的折痕映射的 cobordism 群中，包含与稳定同伦群的球面及实射影空间同构的直和项，具体条件为 q > 0 且 n ≥ 1。通过从奇点集及其浸入中导出的几何不变量，作者证明了这些稳定同伦群在折痕映射的定向与非定向 cobordism 群中均作为直和项出现。

ABSTRACT

We show that the cobordism groups of negative codimensional folds maps contain direct sums of stable homotopy groups of Thom spaces of vector bundles like the circle and the infinite dimensional projective space. We give geometrical invariants which detect these direct summands.

研究动机与目标

• 识别折痕映射 cobordism 群中的代数不变量，以反映稳定同伦群。
• 确定从 (n+q)-流形到 R^n 的折痕映射 cobordism 群的结构，其中 q > 0。
• 通过几何与同伦方法，将已知关于 Morse 函数与折痕映射的结果推广至更高余维。
• 证明球面与 RP∞ 的稳定同伦群作为直和项出现在折痕映射的 cobordism 群中。
• 通过 bordism 与浸入不变量，将 Ando 关于 Morse 函数的结果推广至更高余维的折痕映射。

提出的方法

• 通过涉及二次型的局部模型定义折痕映射，并按指标 λ 对奇点进行分类。
• 将折痕映射 f 的奇点集 S_f 视为 (n-1)-维子流形，且 f|S_f 为余维一的浸入。
• 通过这些浸入的 cobordism 类构造几何不变量，特别使用群 Imm(n-1,1) 及其变体。
• 通过涉及映射柱与在 RP^{2k} 上的折痕映射的构造，建立从 Imm(n-1,1) 到 cobordism 群 Cob_f(n+q, -q) 的同态。
• 证明逆映射与正向映射的复合为恒等映射，从而表明 Imm(n-1,1) 嵌入为直和项。
• 利用复合映射的同构类型，证明 cobordism 群中包含 Imm(n-1,1) 及相关群的直和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从 (n+q)-流形到 R^n 的折痕映射 cobordism 群中包含球面的 (n-1) 阶稳定同伦群作为直和项？
• RQ2 折痕映射奇点集的结构如何与 Thom 空间的稳定同伦群相关联？
• RQ3 对于哪些 q 与 n 的取值，非定向折痕映射的 cobordism 群中包含 RP∞ 的第 n 阶稳定同伦群作为直和项？
• RQ4 折痕映射的几何不变量——特别是其奇点浸入的 cobordism 类——能否检测 cobordism 群中的挠子群？
• RQ5 折痕映射的 cobordism 群在多大程度上可分解为包含稳定同伦群的直和？

主要发现

• 对于 n ≥ 1 且 q > 0，从 (n+q)-流形到 R^n 的折痕映射的定向 cobordism 群中，包含 ⌊(q+1)/2⌋ 个球面的 (n-1) 阶稳定同伦群的直和作为直和项。
• 对于 k ≥ 1 且 q = 2k - 1，从 (n+q)-流形到 R^n 的非定向折痕映射 cobordism 群中，包含 RP∞ 的第 n 阶稳定同伦群作为直和项。
• 证明依赖于通过 Imm(n-1,1) 与 Cob_f(n+q, -q) 之间映射的复合构造 cobordism 群的分裂，证明该复合为恒等映射。
• 折痕映射的几何不变量——特别是其奇点浸入的 cobordism 类——通过 Thom 空间构造检测稳定同伦群。
• 关于 bordism 群的类似结果成立，其中相同的稳定同伦群作为直和项出现在 bordism 群 Bor_f^(O)(n+q, -q) 中。
• 结果表明，由于存在这些稳定同伦和项，计算折痕映射 cobordism 群中的 p-挠子群极具挑战性，尤其对于小素数 p 时。