[论文解读] Fooling One-Sided Quantum Protocols

Hartmut Klauck, Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文利用欺骗集方法，建立了单边错误量子通信复杂度和非确定性量子通信复杂度的新下界。证明了对于任意布尔函数 f，具有先验纠缠的单边错误量子通信复杂度至少为 (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2；对于上三角欺骗集（例如，相等性、不相交性），其下界为 (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2，该下界几乎最优，原因在于超密集编码。对于非确定性量子通信，本文表明 NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1，且存在一个匹配示例使得结果约为 0.613log(fool¹(f))，表明 1/2 的因子可能几乎紧致。

ABSTRACT

We use the venerable "fooling set" method to prove new lower bounds on the quantum communication complexity of various functions. Let f:X x Y-->{0,1} be a Boolean function, fool^1(f) its maximal fooling set size among 1-inputs, Q_1^*(f) its one-sided error quantum communication complexity with prior entanglement, and NQ(f) its nondeterministic quantum communication complexity (without prior entanglement; this model is trivial with shared randomness or entanglement). Our main results are the following, where logs are to base 2: * If the maximal fooling set is "upper triangular" (which is for instance the case for the equality, disjointness, and greater-than functions), then we have Q_1^*(f)>=(1/2)log fool^1(f) - 1/2, which is essentially optimal by superdense coding. No super-constant lower bound for equality seems to follow from earlier techniques. * For all f we have Q_1^*(f)>=(1/4)log fool^1(f) - 1/2, which is optimal up to a factor of 2. * NQ(f)>=log \fool^1(f)/2 + 1. We do not know if the factor 1/2 is needed in this result, but it cannot be replaced by 1: we give an example where NQ(f)~0.613 log fool^1(f).

研究动机与目标

• 利用欺骗集方法，建立具有先验纠缠的单边错误量子通信复杂度的新下界。
• 将欺骗集技术扩展至经典矩形方法失效的量子协议中。
• 分析非确定性量子通信复杂度与欺骗集大小之间的关系。
• 确定 NQ(f) 下界中因子 1/2 是否必要，或可进一步改进。
• 研究具有先验纠缠的量子协议在相等性、不相交性等基本函数上的能力。

提出的方法

• 将经典欺骗集方法适配至量子通信复杂度，尤其适用于具有先验纠缠的单边错误协议。
• 利用 1-欺骗集大小为 |F| 时，任一单色矩形无法同时包含 F 中两个不同元素对，从而强制通信摘要互不相同。
• 应用超密集编码，证明下界 Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 几乎最优。
• 依赖通信矩阵的非确定性秩（nrank(f)）概念，其中 NQ(f) = ⌈log(nrank(f))⌉ + 1。
• 通过构造具有小秩但大欺骗集大小的矩阵张量积示例，证明下界的紧致性。
• 利用不等式 nrank(f)² ≥ rank(M ⊗ Mᵀ) ≥ nrank(g) ≥ nrank(I_N) = N，推导出以 fool¹(f) 表示的 nrank(f) 下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 欺骗集方法能否有效应用于具有先验纠缠的单边错误量子协议中，而这些协议中经典矩形方法失效？
• RQ2 下界 Q₁*(f) ≥ (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2 是否紧致，且一般函数下因子 1/4 是否可提升至 1/2？
• RQ3 对于上三角欺骗集（如相等性、不相交性），下界 Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 是否最优？
• RQ4 下界 NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1 中的因子 1/2 是否必要，或可进一步改进？
• RQ5 能否构造一个函数使得 NQ(f) 显著小于 (1/2)log(fool¹(f)) + 1，从而表明因子 1/2 并不紧致？

主要发现

• 对于任意布尔函数 f，具有先验纠缠的单边错误量子通信复杂度满足 Q₁*(f) ≥ (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2，该下界在因子 2 范围内最优。
• 对于上三角欺骗集（如相等性、不相交性、大于），下界提升为 Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2，该下界由于超密集编码而几乎最优。
• 非确定性量子通信复杂度满足 NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1，且该下界在常数因子范围内紧致。
• 构造了一个显式示例，使得 NQ(f) ≈ 0.613log(fool¹(f))，表明下界中因子 1/2 无法被 1 替代。
• 6×6 矩阵具有秩 3 且 1-欺骗集大小为 6，由此构造的函数 f 满足 fool¹(f) = 6^k 且 nrank(f) = 3^k，从而得到 NQ(f) ≤ (log 3 / log 6)log(fool¹(f)) + 1。
• 本文解决了在具有纠缠的单边错误量子协议中，相等性和不相交性缺乏超常数下界的问题，通过欺骗集方法证明了线性下界。