[论文解读] Foundations of negative imaginary systems theory and relations with positive real systems

Augusto Ferrante, Alexander Lanzon+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文在连续时间和离散时间域中建立了非有理负虚部（NI）系统的基础理论，将NI理论推广至有理传递函数之外。首次引入了离散时间NI系统，定义了多种严格NI系统的概念，并通过离散时间NI引理推导出互联系统的稳定性条件，将NI理论与正实系统理论统一于同一分析框架之下。

ABSTRACT

In this paper we lay the foundations of a not necessarily rational negative imaginary systems theory and its relations with positive real systems theory and, hence, with passivity. In analogy with the theory of positive real functions, in our general framework, negative imaginary systems are defined in terms of a domain of analyticity of the transfer function and of a sign condition that must be satisfied in such domain. In this way, on the one hand, our theory does not require to restrict the attention to systems with rational transfer function and, on the other hand | just by suitably selecting the domain of analyticity to be either the right half complex plane or the complement of the unit disc in the complex plane | we particularize our theory to both continuous-time and to discrete-time systems. Indeed, to the best of our knowledge, this is first time that discrete-time negative imaginary systems are studied in the literature. In this work, we also aim to provide a unitary view of the different notions that have appeared so far in the literature within the framework of positive real and in the more recent theory of negative imaginary systems, and to show how these notions are characterized and linked to each other. A stability analysis result for the interconnection of discrete-time systems is also derived.

研究动机与目标

• 开发一种适用于连续-和离散时间系统的通用非有理负虚部系统理论框架。
• 定义并表征多种严格负虚部系统概念，超越标准定义。
• 首次在文献中提出离散时间负虚部系统概念。
• 建立离散时间负虚部引理及互联系统的稳定性分析结果。
• 通过统一的分析框架，将负虚部系统与正实系统理论统一起来。

提出的方法

• 通过解析域和传递函数矩阵虚部的符号条件来定义负虚部系统。
• 连续时间系统采用右半平面，离散时间系统采用单位圆外部，以推广NI性质。
• 基于谱特性，提出多种严格负虚部系统的定义，包括D-SSNI、D-WSNI和D-NI。
• 推导出离散时间负虚部引理，利用线性矩阵不等式提供完整的状态空间表征。
• 应用Redheffer星积分析互联系统并推导稳定性条件。
• 使用双线性变换将离散时间NI系统与连续时间系统关联，并传递已知的稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非有理、通用框架下定义适用于连续-和离散时间系统的负虚部系统？
• RQ2 严格负虚部系统在标准定义之外应如何合理推广？
• RQ3 鉴于先前文献中缺乏此类理论，如何正式定义和表征离散时间负虚部系统？
• RQ4 离散时间负虚部系统与正实系统之间存在何种关系？它们与连续时间对应系统有何关联？
• RQ5 离散时间负虚部系统互联系统的稳定性条件是什么？如何从状态空间表示中推导出这些条件？

主要发现

• 本文首次通过单位圆外部的解析性及传递函数虚部的符号条件，正式定义了离散时间负虚部系统。
• 定义并表征了多种严格负虚部系统（D-SSNI、D-WSNI、D-NI）的概念，扩展了经典NI框架。
• 推导出离散时间负虚部引理，通过线性矩阵不等式提供完整的状态空间表征。
• 建立了离散时间负虚部系统与弱严格负虚部系统互联系统的稳定性条件，要求谱半径满足P(1)Q(1) < 1。
• 该理论将连续-和离散时间NI系统统一于单一分析框架下，解析域的差异区分了两种情形。
• 研究结果通过将NI理论推广至非有理、有限维系统，并建立与正实系统理论的联系，拓展了先前工作。