[论文解读] Fractional Calculus in Wave Propagation Problems

Francesco Mainardi|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文提出分数阶微积分作为框架，用于建模线性粘弹性介质中扩散与经典波动运动之间的中间波传播现象。通过在波动方程中用分数阶导数（0 < β ≤ 2）替代整数阶时间导数，该模型捕捉了幂律蠕变行为，其解由M-Wright函数控制，介于扩散动力学与振荡动力学之间。

ABSTRACT

Fractional calculus, in allowing integrals and derivatives of any positive order (the term "fractional" kept only for historical reasons), can be considered a branch of mathematical physics which mainly deals with integro-differential equations, where integrals are of convolution form with weakly singular kernels of power law type. In recent decades fractional calculus has won more and more interest in applications in several fields of applied sciences. In this lecture we devote our attention to wave propagation problems in linear viscoelastic media. Our purpose is to outline the role of fractional calculus in providing simplest evolution processes which are intermediate between diffusion and wave propagation. The present treatment mainly reflects the research activity and style of the author in the related scientific areas during the last decades.

研究动机与目标

• 研究分数阶微积分在建模介于扩散与波动传播之间的演化过程中的作用。
• 分析表现出幂律蠕变的线性粘弹性材料中的波传播行为，其行为介于粘性流体与弹性固体之间。
• 展示时间域中阶数为β（0 < β ≤ 2）的分数阶导数如何产生广义标准扩散方程与波动方程的积分微分方程。
• 确立Caputo分数阶导数作为物理应用中初值问题的最合适工具，因其与标准初始条件兼容。
• 探讨M-Wright函数作为分数阶波动方程基本解的解析与渐近性质。

提出的方法

• 通过将标准波动方程或扩散方程中的一阶或二阶时间导数替换为阶数β（0 < β ≤ 2）的Caputo分数阶导数，构建广义演化方程。
• 采用Caputo定义的分数阶导数，以确保与涉及整数阶导数的物理初始条件兼容。
• 通过应用分数阶积分，推导出分数阶波动方程的等价积分微分形式，显式包含初始条件。
• 对分数阶微分方程应用拉普拉斯变换，推导出频域中的解表示。
• 通过M-Wright函数Mν(x)表征基本解，其中ν = β/2 − 1/2，并通过解析渐近分析与数值绘图分析其行为。
• 使用线性与对数尺度比较不同ν值（从0到1）下M-Wright函数的行为，并研究ν → 1⁻时对应Dirac δ函数的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶微积分建模介于扩散与经典波动运动之间的波传播过程？
• RQ2 在波传播问题中，为何用阶数β（0 < β ≤ 2）的分数阶导数替代阶数1或2的时间导数具有物理意义？
• RQ3 为何在粘弹性波建模的初值问题中，Caputo导数优于Riemann-Liouville导数？
• RQ4 M-Wright函数Mν(x)如何描述分数阶波动方程的基本解？其形状如何随β变化？
• RQ5 M-Wright函数在原点附近与无穷远处的渐近与数值行为如何，特别是当ν → 1⁻时？

主要发现

• 具有Caputo导数阶数β（0 < β ≤ 2）的分数阶波动方程，其解在β < 1时介于扩散行为，在β > 1时介于振荡行为之间。
• 当β = 1时，方程退化为标准扩散方程；当β = 2时，退化为经典波动方程。
• 分数阶波动方程的基本解以M-Wright函数Mν(x)表示，其中ν = β/2 − 1/2，其形态从ν = 0时的指数衰减，过渡到ν = 1/2时的高斯分布，最终在ν = 1时变为Dirac δ函数。
• 当β → 2⁻（ν → 1⁻）时，M-Wright函数在x ≈ ±1处形成尖锐峰，表明具有有限传播速度的波状传播行为出现。
• ν接近1时（如ν = 0.99或ν = 0.999）的Mν(x)数值图像显示在x ≈ 1附近存在高振幅、窄峰，证实向波状行为的过渡。
• Caputo导数的拉普拉斯变换保留了初始条件的物理形式，使其成为建模具有可测量初始状态的真实粘弹性系统的理想工具。