[论文解读] Fractional G-White Noise Theory, Wavelet Decomposition for Fractional G-Brownian Motion, and Bid-Ask Pricing Application to Finance Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文引入分数阶 G-Brown 运动（fGBm）作为金融不确定性的一种稳健模型，结合 G-期望理论与基于小波的分解及分数阶 G-白噪声。建立了分数阶 G-Itô 微积分框架，推导出 G-Clark-Ocone 公式，并证明在波动率不确定性下，折现欧式期权的次线性期望等于其买卖价差价格，提出一种新的稳健期权定价机制。

ABSTRACT

G-framework is presented by Peng [41] for measure risk under uncertainty. In this paper, we define fractional G-Brownian motion (fGBm). Fractional G-Brownian motion is a centered G-Gaussian process with zero mean and stationary increments in the sense of sub-linearity with Hurst index $H\in (0,1)$. This process has stationary increments, self-similarity, and long rang dependence properties in the sense of sub-linearity. These properties make the fractional G-Brownian motion a suitable driven process in mathematical finance. We construct wavelet decomposition of the fGBm by wavelet with compactly support. We develop fractional G-white noise theory, define G-Itô-Wick stochastic integral, establish the fractional G-Itô formula and the fractional G-Clark-Ocone formula, and derive the G-Girsanov's Theorem. For application the G-white noise theory, we consider the financial market modelled by G-Wick-Itô type of SDE driven by fGBm. The financial asset price modelled by fGBm has volatility uncertainty, using G-Girsanov's Theorem and G-Clark-Ocone Theorem, we derive that sublinear expectation of the discounted European contingent claim is the bid-ask price of the claim.

研究动机与目标

• 使用一种新的时间齐次随机过程——分数阶 G-Brown 运动（fGBm），在次线性期望下对金融资产价格进行建模，以应对波动率不确定性。
• 发展分数阶 G-白噪声理论，定义 fGBm 的 G-Itô-Wick 随机积分，以支持在模型不确定性下的随机微积分。
• 为 fGBm 建立分数阶 G-Itô 公式、分数阶 G-Clark-Ocone 公式及 G-Girsanov 定理，以支持动态对冲与定价。
• 将所发展的框架应用于推导欧式或有要求权的买卖价差价格，即其折现收益的次线性期望，确保在波动率模糊性下的稳健性。

提出的方法

• 将分数阶 G-Brown 运动（fGBm）定义为在次线性期望下具有自相似性、平稳增量与长程依赖性的中心化 G-Gaussian 过程。
• 利用紧支撑小波对 fGBm 进行小波分解，以实现对过程的多尺度分析。
• 通过定义 G-Itô-Wick 随机积分并推导 fGBm 驱动的 SDE 的分数阶 G-Itô 公式，发展分数阶 G-白噪声理论。
• 建立分数阶 G-Clark-Ocone 公式，将折现的期权收益表示为随机积分，从而在不确定性下实现动态对冲。
• 证明 G-Girsanov 定理，以在测度变换下保持 fGBm 为 G-Brown 运动，便于在不确定市场中进行测度变换。
• 利用 G-Clark-Ocone 公式与 G-Girsanov 定理，证明欧式期权的买卖价差价格即为其折现收益的次线性期望。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分数阶 Brown 运动在次线性期望下推广为 G-Gaussian 过程，以建模金融不确定性？
• RQ2 在波动率不确定性下，fGBm 的正确随机微积分框架是什么？该框架如何支持动态对冲与期权定价？
• RQ3 G-Clark-Ocone 公式能否推广至分数阶 G-Brown 运动，以将或有要求权表示为随机积分形式？
• RQ4 在存在波动率不确定性的市场中，折现期权的次线性期望如何对应其买卖价差价格？
• RQ5 小波分解在 G-白噪声理论背景下分析与近似 fGBm 的作用是什么？

主要发现

• 在波动率不确定性下，欧式或有要求权折现收益的次线性期望 $ E^G[e^{-rT}\tilde{\theta}] $ 被识别为该期权的买入价。
• 该期权的卖出价为 $ -E^G[-e^{-rT}\tilde{\theta}] $，其值等于在模糊集内所有等价测度上线性期望的下确界。
• 通过分数阶 G-Clark-Ocone 公式推导出最优对冲投资组合，其持仓头寸为 $ v(t) = S(t)^{-1}e^{-r(T-t)}\tilde{E}_{M_H}[D_t^H \tilde{\theta}|\mathcal{F}_t^H] $，确保在模型模糊性下的超对冲。
• 为 fGBm 建立了 G-Itô-Wick 积分与分数阶 G-Itô 公式，实现了在次线性期望下的稳定随机积分与 Itô 类型微积分。
• 利用紧支撑小波构造了 fGBm 的小波分解，实现了对过程的多尺度分析与数值近似。
• 证明了 fGBm 的 G-Girsanov 定理，表明测度变换可使 fGBm 在新次线性期望下保持为 G-Brown 运动，从而保持过程结构不变。