[论文解读] Fractional Schrodinger-Poisson Equations With General Nonlinearities

Ronaldo C. Duarte, Marco A. S. Souto|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过Nehari流形方法和一种新型弱比较原理，建立了在 $\mathbb{R}^3$ 中具有广义非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统的正解与基态解的存在性。关键结果证明，在势函数 $V$ 和非线性项 $f$ 满足适当条件（包括广义Ambrosetti-Rabinowitz型条件）时，弱解几乎处处为正，并达到基态能量水平。

ABSTRACT

In this paper we investigate the existence of positive solutions and ground state solution for a class of fractional Schrödinger-Poisson equations in $\mathbb R^3$ with general nonlinearities.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立具有广义非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统正解的存在性。
• 利用Nehari流形方法证明基态解的存在性。
• 在不依赖正则性理论的前提下，证明弱解几乎处处为正。
• 将先前在局部拉普拉斯情形下的结果推广至非局部分数阶拉普拉斯情形。
• 提出一种新的对数引理版本及适用于该系统的弱比较原理。

提出的方法

• 利用Nehari流形方法寻找与系统相关的能量泛函的临界点。
• 应用基于修正对数引理推导出的新弱比较原理，证明弱解的正性。
• 在薛定谔方程和泊松方程中分别使用分数阶拉普拉斯 $(-\Delta)^s$，其中 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ 和 $t \in (0,1)$。
• 使用Lax-Milgram定理证明存在唯一的 $\phi_u \in \dot{H}^t(\mathbb{R}^3)$ 满足 $(-\Delta)^t \phi = u^2$。
• 应用Lions引理（引理1.3）处理 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中有界序列的消失与二分现象。
• 依赖于条件 $(f_5)$，即 $f(u)/|u|^3$ 是递增的，以确保泛函 $H(u) = u f(u) - 4F(u)$ 非负且非减。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有广义非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统是否允许存在正的弱解？
• RQ2 在非局部分数阶设定下，能否通过Nehari流形方法保证基态解的存在性？
• RQ3 是否可能在不使用正则性理论的前提下证明弱解的正性？
• RQ4 当 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ 时，临界指数 $2_s^* = \frac{6}{3-2s}$ 如何影响解的存在性？
• RQ5 广义Ambrosetti-Rabinowitz型条件 $(f_5)$ 在确保基态解存在性方面起到何种作用？

主要发现

• 在 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$，$t \in (0,1)$，且势函数 $V$ 满足 $(V_0)$ 与 $(V_1)$ 的条件下，系统存在正解。
• 在相同的 $s$、$t$、$V$ 和 $f$ 假设下，基态解存在，且作为Nehari流形上的极小化元被实现。
• 通过一种新的弱比较原理，证明了弱解在 $\mathbb{R}^3$ 中几乎处处为正，且未使用正则性结果。
• 仅当 $s > \frac{3}{4}$ 时，区间 $(4, 2_s^*)$ 才非退化，这对增长条件 $(f_3)$ 至关重要。
• 条件 $(f_5)$ 确保 $H(u) = u f(u) - 4F(u)$ 非负且递增，这对Nehari流形分析至关重要。
• 证明中的反证法表明 $\lim_{n \to \infty} s_n = 1$，确认了缩放序列收敛于基态。