[论文解读] Framed motives of smooth affine pairs

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文将框架动机理论推广至光滑仿射对 $(X, U)$，其中 $X$ 是无限完美域 $k$ 上的光滑仿射概形，$U \subset X$ 为开子概形。通过使用框架对应关系，构造了动机悬停谱 $Σ_{Γ^1}^\infty(X_+/U_+)$ 的显式动机纤维化 $Ω$-化解，证明了谱 $σ_{τ}^\mathrm{fr}(X_+/U_+)_f$ 在正度数上与纤维化 $Ω$-谱稳定同伦等价。

ABSTRACT

The theory of framed motives by Garkusha and Panin gives computations in the stable motivic homotopy category $\mathbf{SH}(k)$ in terms of Voevodsky's framed correspondences. In particular the motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees of the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty X_+$, where $X_+=X\amalg *$, for a smooth scheme $X\in \mathrm{Sm}_k$ over an infinite perfect field $k$, is computed. The computation by Garkusha, Neshitov and Panin of the framed motives of relative motivic spheres $(\mathbb A^l imes X,(\mathbb A^l-0) imes X)$, $X\in \mathrm{Sm}_k$, is one of ingredients in the theory. In the article we extend this result to the case of a pair $(X,U)$ given by a smooth affine variety $X$ over $k$ and an open subscheme $U\subset X$. The result gives the explicit motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees for the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty (X_+/U_+)$ of the factor-sheaf $X_+/U_+$.

研究动机与目标

• 将框架动机理论从光滑概形推广至光滑仿射对 $(X, U)$，其中 $U \subset X$ 为开子概形。
• 计算光滑仿射 $X$ 的动机悬停谱 $Σ_{Γ^1}^\infty(X_+/U_+)$ 的动机纤维化 $Ω$-化解。
• 建立框架动机构造 $σ_{τ}^\mathrm{fr}(X_+/U_+)_f$ 在正度数上产生动机纤维化 $Ω$-谱的结论。
• 将 Garkusha、Neshitov 和 Panin 的锥定理推广至仿射对情形，为 $X/U$ 在 $\mathbf{SH}(k)$ 中提供几何模型。

提出的方法

• 利用 Voevodsky 的框架对应关系，将带点层 $\mathrm{Fr}(-, X/U)$ 定义为关于 $n$ 的 $\mathrm{Fr}_n(-, X/U)$ 的上极限，以捕捉框架映射的几何数据。
• 通过在 $\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge S^i)$ 上应用 $C^*$-构造，构建 $S^1$-谱 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)$，并利用 $\Delta^\bullet \times -$ 进行单纯上逼近。
• 对每个层级应用局部注入纤维化替换 $(-)_f$，以确保所得谱在正度数上为动机纤维化。
• 将 $\mathbb{P}^1$-谱 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 定义为从 $\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m$-谱到 $\mathbb{P}^1$-谱的典范函子 $\nu$ 的像，该函子保持稳定等价。
• 建立 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ 与 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 之间，以及 $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 与 $\mathbb{G}_m$-双谱 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 之间的稳定动机弱等价。
• 依赖关键技术工具：$\mathbb{A}^1$-局部等价性 $\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m \simeq \mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$，其诱导出 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ 与 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 之间的等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将框架动机构造从光滑概形推广至光滑仿射对 $(X, U)$，其中 $U \subset X$ 为开子概形？
• RQ2 对于光滑仿射 $X$，$S^1$-谱 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 是否在正度数上为动机纤维化？
• RQ3 从 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ 到 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 的典范映射是否在 $\mathbf{SH}(k)$ 中诱导出稳定动机弱等价？
• RQ4 能否将 $\mathbb{P}^1$-谱 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 实现为某个 $\mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$-谱在典范函子 $\nu$ 下的像？
• RQ5 框架动机谱 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 与迭代悬停谱 $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 谱 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$，定义为 $C^*\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge T^i)$，其中 $T = (\mathbb{A}^1, \mathbb{A}^1 \setminus 0)$，在正度数上为动机纤维化 $Ω_{\mathbb{P}^1}$-谱。
• 从 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ 到 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 的典范映射在 $\mathbf{SH}(k)$ 中为稳定动机弱等价。
• $S^1$-谱 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 在正度数上为动机纤维化 $Ω$-谱，且在 $\mathbf{SH}_{S^1}(k)$ 中具有正确的同伦类型。
• $\mathbb{G}_m$-双谱 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 在 $S^1$-正度数上为动机纤维化 $Ω$-双谱，且与 $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 稳定同伦等价。
• $\mathbb{A}^1$-局部等价性 $\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m \simeq \mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$ 诱导出框架对应层 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ 与 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 之间的强 $\mathbb{A}^1$-局部等价，从而实现谱之间的比较。
• 构造 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 可表示为 $\nu(\mathrm{M}^T_{\mathrm{fr}}(X,U))$，其中 $\nu$ 是由 $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$ 导出的函子，且该函子保持稳定等价。