[论文解读] Free boundary regularity of vacuum states for incompressible viscous flows in unbounded domains

Christophe Prange, Jin Tan|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2023

Navier-Stokes equation solutionsMathematics被引用 3

一句话总结

本文在仅假设初始密度有界且非负、初始速度具有最小正则性的情况下，建立了无界区域（$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$）中不可压缩Navier-Stokes方程具有有限能量的弱解的唯一性与自由边界正则性。通过新颖的插值与加权能量估计，克服了无界区域中Poincaré不等式缺失的困难，解决了Lions关于真空泡与密度块在全空间情况下界面正则性保持性的公开问题。

ABSTRACT

In the well-known book of Lions [{\em Mathematical topics in fluid mechanics. Incompressible models}, 1996], global existence results of finite energy weak solutions of the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations (INS) were proved without assuming positive lower bounds on the initial density, hence allowing for vacuum. Uniqueness, regularity and persistence of boundary re\-gularity of density patches were listed as open problems. A breakthrough on Lions' problems was recently made by Danchin and Mucha [The incompressible Navier-Stokes equations in vacuum, {\em Comm. Pure Appl. Math.}, 72 (2019), 1351--1385] in the case where the fluid domain is either bounded or the torus. However, the case of unbounded domains was left open because of the lack of Poincaré-type inequalities. In this paper, we obtain regularity and uniqueness of Lions' weak solutions for (INS) with \emph{only bounded and nonnegative initial density} and additional regularity only assumed for the initial velocity, in the whole-space case $\mathbb R^d$, $d=2$ or $3$. In particular, our result allows us to study the evolution of a vacuum bubble embedded in an incompressible fluid, as well as a patch of a homogeneous fluid embedded in the vacuum, which provides an answer to Lions' question in the whole-space case.

研究动机与目标

• 解决Lions提出的关于不可压缩Navier-Stokes方程在$\mathbb{R}^d$上真空态自由边界正则性保持性的公开问题。
• 在初始密度有界且非负、初始动量仅属于$L^2$且无需正下界或额外正则性的前提下，建立弱解的唯一性与正则性。
• 将Danchin与Mucha在有界与周期区域的结果推广至全空间情形，其中Poincaré型不等式不成立。
• 为研究不可压缩粘性流中真空泡与密度块的演化提供严格的理论框架。

提出的方法

• 在$\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^d)$中函数上推导出一个新的$L^2$插值不等式，通过将函数分解为$L^1$与$L^2$分量，利用加权$L^2$范数与梯度范数控制$L^2$范数。
• 使用满足近似无真空（aNV）或真空泡（VB）条件的权函数$\eta$，应用加权能量估计，从而控制速度与密度扰动的$L^2$范数。
• 利用非齐次不可压缩Navier-Stokes方程的结构，推导出保持真空区域相关自由边界正则性的先验估计。
• 通过将速度场与密度分解为光滑部分与奇异部分，处理真空区域中动量方程的退化性。
• 结合Gagliardo-Nirenberg不等式与Young不等式，并利用初始数据的结构，建立速度场的新加权$L^2$估计。
• 证明在给定假设下，真空区域或密度块的自由边界在所有时间保持$C^1$正则性，利用解的正则性与密度输运方程的结构。

Figure 1. Relationships between the results in the paper

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{R}^d$中，不可压缩Navier-Stokes方程的时间演化下，真空区域或密度块的自由边界是否保持正则性？
• RQ2 在全空间情形下，仅给定有界、非负初始密度与$L^2$初始动量时，是否可建立不可压缩Navier-Stokes方程弱解的唯一性与正则性？
• RQ3 是否可能在不依赖Poincaré型不等式的情况下，将有界或周期区域中的正则性结果推广至无界区域如$\mathbb{R}^d$？
• RQ4 初始数据的何种条件可确保真空与流体区域之间的界面在时间演化中保持光滑？
• RQ5 在密度无下界的情况下，是否可证明真空泡或密度块的自由边界$C^1$正则性可保持？

主要发现

• 本文在标准能量条件下，建立了$\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）中初始密度有界且非负、初始动量属于$L^2$的不可压缩Navier-Stokes方程有限能量弱解的唯一性。
• 证明了真空区域或密度块的自由边界在所有时间保持$C^1$正则性，从而解决了Lions在全空间情形下的公开问题。
• 作者构造了一个新的$L^2$插值估计，即使权函数$\eta$退化，也能通过其加权$L^2$范数与梯度范数控制函数的$L^2$范数。
• 该方法通过将函数分解为$L^1$与$L^2$分量并应用加权估计，克服了无界区域中Poincaré不等式缺失的困难。
• 该结果适用于物理上相关的构型，如嵌入流体中的真空泡或真空中的均质流体块，两者均被证明保持界面正则性。
• 本文完整回答了Lions关于全空间情形下边界正则性保持性的问题，将先前在有界与周期区域的结果进行了推广。