[论文解读] From linear combination of quantum states to Grover's searching algorithm

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新的线性组合酉操作（LCU）量子算法，其复杂度为 O(m^{log(m/ε)})，与系数大小和态的范数无关，当 m 较小时或系数较大时性能更优。作为应用，该方法可在 O((log n)/ε) 时间内高效准备由经典实向量生成的量子态，在某些情况下实现了输入问题的指数级加速。

ABSTRACT

Linear combination of unitaries (LCU for short) is one of the most important techniques in designing quantum algorithms. In this paper, we propose a new quantum algorithm in three different forms to achieve LCU. Different from previous algorithms [Childs-linear-system,Clader,Long11], the complexity now only depends on the number of the unitaries and the precision. So it will play more important role in the design of quantum algorithms when the number of unitaries is small, such as quantum iteration algorithms. %Since in iteration algorithms, $m$ often refers to the iteration steps, which is small if the iteration algorithms are efficient. Moreover, as an application of the new LCU, three new quantum algorithms to the searching problem will be proposed, which will provide us new insights into Grover's searching algorithm. We also show that the problem of LCU is closely related to the problem of if we can efficiently implement $U^t$ for $0

研究动机与目标

• 开发一种新的线性组合酉操作（LCU）量子算法，以减少对系数大小的复杂度依赖。
• 解决量子计算中的输入问题——高效地从经典实向量制备量子态 |x⟩。
• 利用所提出的 LCU 框架，为 Grover 搜索算法提供新的几何与代数见解。
• 通过降低小数量酉操作时的复杂度，实现量子迭代算法的高效实现。
• 探索 LCU 与酉操作的分数幂（如 U^t，其中 0 < t < 1）之间的联系，特别是在高精度约束下的实现。

提出的方法

• 基于几何插值与振幅放大，提出三种适用于实量子态的新形式 LCU 算法。
• 采用分解策略：将目标向量 x 表示为两个辅助向量 y 和 z 的线性组合，其中 y 为带符号的常数向量，z = x + y。
• 利用新 LCU 技术相干地组合 |y⟩ 和 |z⟩，二者均可在 O(log n) 时间内高效制备。
• 应用新 LCU 方法实现线性组合 |x⟩ = (‖z‖|z⟩ - ‖y‖|y⟩)/‖x‖，精度为 ε，复杂度达到 O((log n)/ε)。
• 利用 1-范数到 2-范数的不等式来界定范数比，确保最终态制备中的误差有界。
• 证明新 LCU 方法与系数 α_j 及结果态的范数无关，而不同于以往方法中与 ∑|α_j|/‖y‖ 成比例的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性组合酉操作（LCU）问题能否以与系数 α_j 和结果态范数无关的复杂度求解？
• RQ2 如何利用新型 LCU 技术高效解决量子计算中的输入问题——即从经典实向量 x 制备 |x⟩？
• RQ3 利用所提出的 LCU 框架，能否为 Grover 算法推导出新的几何与代数解释？
• RQ4 当酉操作数量较小时，新 LCU 方法在多大程度上提升了量子迭代算法的效率？
• RQ5 在高精度要求下，新 LCU 方法能否高效实现酉操作的分数幂，如 U^t（其中 0 < t < 1）？

主要发现

• 新 LCU 算法对 m 个酉操作和精度 ε 的复杂度为 O(m^{log(m/ε)})，与系数 α_j 及结果态的范数无关。
• 对于从实经典向量 x 制备量子态，该算法复杂度为 O((log n)/ε)，当条件数 κ(x) 适中时，相比以往方法实现了指数级加速。
• 即使 max|x_k| 与 min|x_k| 的差异达 2^1000，只要 log κ(x) 保持较小，该方法仍能高效制备 |x⟩。
• 分解 |x⟩ = (‖z‖|z⟩ - ‖y‖|y⟩)/‖x‖ 允许利用两个易于制备的态 |y⟩ 和 |z⟩ 实现高效态制备，其中 |y⟩ 为恒定幅值的带符号向量。
• 当酉操作数量较少或系数极大时，新 LCU 方法优于现有 LCU 技术，特别适用于量子迭代算法。
• 该方法为 Grover 算法提供了三种新的几何解释，使其与量子态的线性组合及振幅放大联系更加紧密。