[论文解读] From local Torelli to global Torelli

Kefeng Liu, Yang Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文引入了极化流形的强局部Torelli和T-类概念，证明了强局部Torelli蕴含在T-类流形的Torelli空间上全局Torelli定理成立。通过将周期映射提升至Teichmüller空间并使用层级结构，作者建立了周期映射的全局单射性，表明Torelli空间可全纯嵌入复空间中的有界强拟凸域，该结果在具有层级结构的模空间中具有应用价值。

ABSTRACT

We introduce the notions of strong local Torelli and T-class for polarized manifolds, and prove that strong local Torelli implies global Torelli theorem on the Torelli spaces for polarized manifolds in the T-class. We discuss many new examples of projective manifolds for which such global Torelli theorem holds. As applications we prove that, in these cases, a canonical completion of the Torelli space is a bounded pseudoconvex domain in complex Euclidean space, and show that generic Torelli implies global Torelli on moduli space with certain level structure.

研究动机与目标

• 建立一个系统性框架，以超越孤立情形，证明全局Torelli定理。
• 通过将周期映射提升至万有覆叠（Teichmüller空间）来解决证明全局Torelli的困难。
• 定义并刻画全局Torelli定理成立的极化流形的T-类。
• 表明此类流形的Torelli空间是复欧氏空间中的有界强拟凸域。
• 证明在m ≥ 3的层级结构模空间上，全局Torelli定理成立。

提出的方法

• 引入强局部Torelli的概念，作为Torelli空间上全局Torelli定理的充分条件。
• 将T-类定义为存在光滑模空间且具有m ≥ 3层级结构的极化流形。
• 将Teichmüller空间构造为具有层级结构的模空间的万有覆叠。
• 将周期映射从模空间提升至Teichmüller空间，在强局部Torelli条件下确保其单射性。
• 利用单值表示与基本群同构性，证明具有层级结构的模空间上的周期映射是其像上的全纯微分同构。
• 应用Hodge理论与复几何的结果，识别周期映射的像为有界强拟凸域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，强局部Torelli蕴含极化流形的全局Torelli定理？
• RQ2 哪些类别的极化流形属于T-类？该类为何对Torelli型定理具有重要意义？
• RQ3 使用层级结构与Teichmüller空间如何克服证明全局Torelli时的障碍？
• RQ4 T-类流形的Torelli空间继承了何种几何结构？其与有界对称域有何关联？
• RQ5 能否在具有层级m结构的模空间上建立全局Torelli定理？这对周期映射意味着什么？

主要发现

• 强局部Torelli蕴含在T-类流形的Torelli空间上全局Torelli定理成立。
• T-类中极化流形的Torelli空间是复欧氏空间中的有界强拟凸域。
• 当强局部Torelli成立时，具有层级m结构的模空间上的周期映射是其像上的全纯微分同构。
• 具有层级结构的模空间的基本群同构于单值群Γ。
• 提升至Teichmüller空间的周期映射是单射，其像为周期域D中的区域。
• 在m ≥ 3的层级结构模空间上，全局Torelli定理成立，该结果扩展至更广泛的代数簇类别。