[论文解读] From Loop Space Mechanics to Nonabelian Strings

Urs Schreiber|ArXiv.org|Sep 21, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 170被引用 17

一句话总结

本文通过将环空间上的超对称量子力学提升至高 gauge 理论，借助具有 2-曲率的 2-丛与 2-曲率，建立了一个非交换弦的范畴化框架。它引入了非交换 Deligne 超上同调以描述全局曲面曲率，推广了 gerbes，并与 M-理论膜、自旋弦及导出范畴相联系。其主要贡献是利用李 2-代数与 String-群结构，构建了一个非交换弦的自洽作用泛函。

ABSTRACT

Lifting supersymmetric quantum mechanics to loop space yields the superstring. A particle charged under a fiber bundle thereby turns into a string charged under a 2-bundle, or gerbe. This stringification is nothing but categorification. We look at supersymmetric quantum mechanics on loop space and demonstrate how deformations here give rise to superstring background fields and boundary states, and, when generalized, to local nonabelian connections on loop space. In order to get a global description of these connections we introduce and study categorified global holonomy in the form of 2-bundles with 2-holonomy. We show how these relate to nonabelian gerbes and go beyond by obtaining global nonabelian surface holonomy, thus providing a class of action functionals for nonabelian strings. The examination of the differential formulation, which is adapted to the study of nonabelian p-form gauge theories, gives rise to generalized nonabelian Deligne hypercohomology. The (possible) relation of this to strings in Kalb-Ramond backgrounds, to M2/M5-brane systems, to spinning strings and to the derived category description of D-branes is discussed. In particular, there is a 2-group related to the String-group which should be the right structure 2-group for the global description of spinning strings.

研究动机与目标

• 开发一种超越阿贝尔 gerbes 的非交换弦理论的全局、范畴化描述。
• 将环空间力学推广至包含非交换 2-形式规范场及其曲率的框架。
• 通过 2-群规范理论，建立 String-群与自旋弦全局结构之间的联系。
• 构建一种微分上同调理论——非交换 Deligne 超上同调——以分类局部与全局的 2-联络。
• 将形式体系与物理系统（如 M2/M5-膜、Kalb-Ramond 背景及导出范畴中的 D-膜）相联系。

提出的方法

• 将环空间上的超对称量子力学提升，推导世界面不变量与边界态，将其识别为弦背景场。
• 利用严格 2-群与 p-路径群胚上的范畴化曲率函子，引入具有 2-联络与 2-曲率的 2-丛。
• 通过李 2-代数与 L∞-代数（特别是与 String-群相关的 gk 代数）构建微分图像。
• 通过微分分次代数上的链映射推导 2-联络的 2-曲率与一致性条件。
• 将形式体系应用于无穷小 2-丛，表明规范变换与上链条件在 k-依赖的 Chern-Simons 修正下退化为阿贝尔 gerbe 结构。
• 利用 Čech 扩展的 p-路径群胚，为 p=2 定义全局 p-函子，将曲率推广至高阶范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴化将环空间力学扩展以描述非交换弦？
• RQ2 非交换曲面曲率的全局结构是什么？它如何推广 gerbes 与 1-曲率？
• RQ3 在此形式体系中，String-群如何作为自旋弦的结构 2-群出现？
• RQ4 非交换 Deligne 超上同调在分类 2-联络及其规范变换中起什么作用？
• RQ5 微分形式与 2-联络的全局形式之间有何关系，特别是在无穷小极限下？

主要发现

• 该形式体系通过具有 2-联络的 2-丛实现了非交换曲面曲率，为非交换弦提供了全局作用泛函。
• 由于底层李 2-代数中的雅可比恒等式，2-曲率满足 2-Bianchi 恒等式，确保了其一致性。
• 在无穷小极限下，2-形式联络 Bi 的规范变换获得一个与 1-联络 A 的 Chern-Simons 形式相关的 k-依赖修正。
• 当 1-联络为平坦且选择合适规范时，2-联络的上链条件退化为阿贝尔 gerbe 的条件，其中 k 参数编码了非交换修正。
• 证明了 2-群 PkG 与李 2-代数 gk 等价，且该等价性支撑了自旋弦的全局描述。
• 微分形式体系正确再现了 3-联络已知的一致性条件，验证了该方法在更高范畴层次上的有效性。