[论文解读] From the Hecke Category to the Unipotent Locus

Minh-Tâm Quang Trinh|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文从Weyl群的Hecke范畴构造了一个单幺trace，映射到半单群的幂零子集上的等变Borel–Moore同调，通过广义Steinberg概形实现Khovanov–Rozansky同调。其去 categorification 为取值于分次特征的Iwahori–Hecke代数上的trace，通过Lusztig的奇异傅里叶变换表达，并在类型A中恢复了扭结的HOMFLY多项式恒等式。

ABSTRACT

Let $W$ be the Weyl group of a split semisimple group $G$. Its Hecke category $\mathsf{H}_W$ can be built from pure perverse sheaves on the double flag variety of $G$. By developing a formalism of generalized realization functors, we construct a monoidal trace from $\mathsf{H}_W$ to a category of bigraded modules over a certain graded ring: namely, the endomorphisms of the equivariant Springer sheaf over the unipotent locus of $G$. We prove that: (1) On objects attached to positive braids $β$, the output is the weight-graded, equivariant Borel-Moore homology of a generalized Steinberg scheme $\mathcal{Z}(β)$. (2) Our functor contains, as a summand, one used by Webster-Williamson to construct the Khovanov-Rozansky link invariant. In particular, the Khovanov-Rozansky homology of the link closure of $β$ is fully encoded in the Springer theory of $\mathcal{Z}(β)$. Decategorifying, we get a trace on the Iwahori-Hecke algebra, valued in graded virtual characters of $W$. We give a formula for it in terms of a pairing on characters of $W$ called Lusztig's exotic Fourier transform, which generalizes it to all finite Coxeter groups. Using this formula, we establish properties of the trace like rationality, symmetry, and compatibility with parabolic induction. We also show that on periodic braids, the trace produces the characters of explicit virtual modules over Cherendik's rational double affine Hecke algebra. For $W = S_n$, we recover an identity of Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende relating these modules to the HOMFLY polynomials of torus knots.

研究动机与目标

• 从Hecke范畴构造一个到幂零子集上等变Springer层的自同态范畴的单幺trace。
• 将正辫的完整Khovanov–Rozansky同调实现为广义Steinberg概形的加权分次等变Borel–Moore同调。
• 将trace去 categorification 为取值于Iwahori–Hecke代数上的特征值trace，推广Gomi的Markov trace至所有有限Coxeter群。
• 建立去 categorification trace 的有理性、对称性及与抛物诱导的相容性。
• 证明周期辫上的trace产生Cherendik的有理双 affine Hecke代数上的模的特征，从而在类型A中恢复Gorsky–Oblomkov–Rasmussen–Shende的扭结多项式恒等式。

提出的方法

• 发展广义实现函子的形式体系，以替代先前工作中使用的色谱法，实现HHH不变量的直接几何实现。
• 通过幂零子集上的Springer层，从Hecke范畴构造到分次环上双分次模范畴的单幺trace。
• 为正辫β定义广义Steinberg概形$\mathcal{Z}(\beta)$，其等变Borel–Moore同调计算完整的HHH同调。
• 利用Lusztig的奇异傅里叶变换，将去 categorification trace 表示为Weyl群特征上的配对。
• 将形式体系应用于周期辫，证明trace通过Cherendik的有理双 affine Hecke代数的表示因子化。
• 利用Bezrukavnikov–Yun与Rider关于形式性与权重结构的结果，确保与混合几何的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意正辫β，其完整的HHH同调能否作为单个G-概形在幂零子集上的等变Borel–Moore同调被几何实现？
• RQ2 Iwahori–Hecke代数上的去 categorification trace 如何用特征理论数据表达，以推广Gomi的trace？
• RQ3 周期辫上的trace与有理DAHA表示之间有何关系？
• RQ4 单幺trace构造是否尊重抛物诱导，并表现出对称性与有理性质？
• RQ5 广义实现函子的形式体系能否替代几何构造HHH不变量中的色谱法？

主要发现

• 对于任意正辫β，完整的HHH同调被实现为广义Steinberg概形$\mathcal{Z}(\beta)$的加权分次等变Borel–Moore同调。
• 单幺trace包含Webster–Williamson函子作为直和项，完整地通过$\mathcal{Z}(\beta)$的几何编码了Khovanov–Rozansky链不变量。
• 去 categorification trace 通过Lusztig的奇异傅里叶变换表示为配对，推广至所有有限Coxeter群。
• 通过特征理论分析，证明trace具有有理性、对称性，并与抛物诱导相容。
• 在周期辫上，trace产生Cherendik有理双 affine Hecke代数上虚拟模的特征，从而在类型$A_n$中恢复了Gorsky–Oblomkov–Rasmussen–Shende对扭结的恒等式。
• 该构造通过$\mathcal{Z}(\beta)$与Springer层的几何，为扭结的HOMFLY多项式提供了几何模型。