[论文解读] From WZW models to Modular Functors

Eduard Looijenga|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文以坐标无关、代数几何的方式构造了Wess-Zumino-Witten（WZW）模型，将其视为在点化曲线模堆叠上关于行列式线丛的${\mathbb{G}}_m$-丛上的局部系统。它证明了WZW联络的平坦性，推导出其因子分解性质，并表明由此产生的系统在Segal意义下给出一个模 functor，仅使用代数几何和仿射李代数的表示理论，而不依赖于诸如算子乘积展开或Teichmüller理论等物理形式体系。

ABSTRACT

In this survey paper (which supersedes our earlier arXiv preprint math.AG/0507086) we give a relatively simple and coordinate free description of the WZW model as a local system whose base is a G_m-bundle on the moduli stack of pointed curves. We derive its main properties and show how it leads to a modular functor in the spirit of Graeme Segal (except for unitarity). The approach presented here is almost purely algebro-geometric in character; it avoids the Boson-Fermion correspondence, operator product expansions as well as Teichmueller theory.

研究动机与目标

• 以纯代数几何、坐标无关的方式，将WZW模型描述为点化曲线模堆叠上${\mathbb{G}}_m$-丛上的局部系统。
• 仅通过代数几何和仿射李代数的表示理论，推导出WZW联络的平坦性及其因子分解性质。
• 证明由此产生的系统在Segal意义下定义了一个模 functor，且不借助诸如玻色子-费米子对偶性或Teichmüller理论等物理工具。
• 建立全局代数几何构造与通过WZW模型实现的局部共形场论方法之间的等价性，确认联络与Verlinde空间一致。

提出的方法

• 将WZW模型构造为在黎曼曲面$C$上$G$-丛模堆叠的行列式线丛所关联的${\mathbb{G}}_m$-丛上的局部系统。
• 将Verlinde空间${\mathbb{H}}_{\ell}(G)_C$实现为行列式线丛的$\ell$-次张量幂的截面空间，该空间携带一个平坦的射影联络。
• 通过Maslov指标构造曲面$\Sigma$的映射类群的中心扩张，其中中心元素$2(\ell + \check{h})$在拉格朗日子格拉斯曼ian的万有覆叠上的拉回截面空间上平凡作用。
• 通过将粘合曲面的拉格朗日子格拉斯曼ian嵌入原始曲面的拉格朗日子格拉斯曼ian，形式化了曲面的粘合操作，从而实现通过双球面分解对局部系统进行分解。
• 计算德恩旋转变换在局部系统上的作用为标量乘法$\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$，将模 functor 与量子群表示联系起来。
• 该构造仅使用模堆叠、行列式线丛和辛格格的几何，避免了诸如算子乘积展开或Teichmüller理论等物理形式体系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖物理场论工具的前提下，以坐标无关、代数几何的框架描述WZW模型？
• RQ2 通过代数几何构造的Verlinde丛与共形场论中WZW联络之间的精确关系是什么？
• RQ3 黎曼曲面的粘合操作如何转化为相关局部系统与Verlinde空间上的代数结构？
• RQ4 映射类群的中心扩张在实现模 functor 中起到什么作用？
• RQ5 能否通过WZW模型的因子分解与单值性性质，从双球面分解中完整重构模 functor 结构？

主要发现

• WZW模型被构造为在$G$-丛模堆叠上的${\mathbb{G}}_m$-丛上的局部系统，其基空间由$H_1(C;\mathbb{Z})$的拉格朗日子格参数化。
• Verlinde丛携带平坦的射影联络，其平坦性通过theta函数满足的热方程得到证明，推广了Mumford的观察。
• 映射类群通过$\mathbb{Z}$的中心扩张作用于局部系统，其中中心元素$2(\ell + \check{h})$在拉回截面空间上平凡作用，与辛群的普遍中心扩张一致。
• 粘合性质将粘合曲面$\Sigma_\phi$上的局部系统识别为原始曲面上局部系统的直和，索引为表示$\lambda$与$\lambda^*$，通过拉格朗日子格拉斯曼ian的嵌入实现。
• 沿粘合边界分量的德恩旋转变换在对应分量上作用为标量乘法$\exp\big{(}-\frac{\pi\sqrt{-1}c_{\mu}}{\ell+\check{h}}\big{)}$，将模 functor 与量子群的融合规则联系起来。
• 通过双球面分解，利用三孔球面这一基本构建块，可从WZW模型的因子分解与单值性性质中重构整个局部系统，从而形式化推导出Verlinde公式。