[论文解读] Fully Dynamic Matching in Bipartite Graphs

Aaron Bernstein, Clifford Stein|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出了首个在二分图中实现最大基数匹配的确定性完全动态算法，能够在最坏情况更新时间 $O(m^{1/4} heta^{-2.5})$ 内实现 $(3/2 + \epsilon)$-近似，打破了 $\sqrt{m}$ 的瓶颈。此外，对于小度数森林数 $\alpha$ 的图，该算法在 $O(\alpha(\alpha + \log n))$ 的最坏情况更新时间内实现了 $(1+\epsilon)$-近似，显著优于以往的确定性方法。

ABSTRACT

Maximum cardinality matching in bipartite graphs is an important and well-studied problem. The fully dynamic version, in which edges are inserted and deleted over time has also been the subject of much attention. Existing algorithms for dynamic matching (in general graphs) seem to fall into two groups: there are fast (mostly randomized) algorithms that do not achieve a better than 2-approximation, and there slow algorithms with $Ø(\sqrt{m})$ update time that achieve a better-than-2 approximation. Thus the obvious question is whether we can design an algorithm -- deterministic or randomized -- that achieves a tradeoff between these two: a $o(\sqrt{m})$ approximation and a better-than-2 approximation simultaneously. We answer this question in the affirmative for bipartite graphs. Our main result is a fully dynamic algorithm that maintains a $3/2 + \eps$ approximation in worst-case update time $O(m^{1/4}\eps^{/2.5})$. We also give stronger results for graphs whose arboricity is at most $\al$, achieving a $(1+ \eps)$ approximation in worst-case time $O(\al (\al + \log n))$ for constant $\eps$. When the arboricity is constant, this bound is $O(\log n)$ and when the arboricity is polylogarithmic the update time is also polylogarithmic. The most important technical developement is the use of an intermediate graph we call an edge degree constrained subgraph (EDCS). This graph places constraints on the sum of the degrees of the endpoints of each edge: upper bounds for matched edges and lower bounds for unmatched edges. The main technical content of our paper involves showing both how to maintain an EDCS dynamically and that and EDCS always contains a sufficiently large matching. We also make use of graph orientations to help bound the amount of work done during each update.

研究动机与目标

• 设计一种完全动态算法，用于二分图中的最大基数匹配，以实现优于2倍的近似比，并具备快速的最坏情况更新时间。
• 克服确定性完全动态匹配算法中长期存在的 $\sqrt{m}$ 更新时间瓶颈。
• 在度数森林数 $\alpha$ 较小的二分图中实现性能提升，其中 $\alpha$ 为常数或较小值。
• 提供一种确定性解决方案，避免对无偏对手的依赖，而这是以往随机化算法所依赖的。
• 将边度约束子图（EDCS）框架扩展至完全动态设置，并提供可证明的保证。

提出的方法

• 该算法使用边度约束子图（EDCS）来维护一个稀疏子图，该子图近似表示最大匹配。
• 它动态维护 EDCS 中的完整边和不足边，其中完整边的度数至少为 $\beta$，不足边的度数小于 $\beta^-$，其中 $\beta^- = \beta - \beta\lambda$。
• 通过动态定向数据结构，确保每个顶点在最坏情况下最多拥有 $O(\sqrt{m})$ 条边，从而实现高效的边查询。
• 对于边的插入和删除操作，该算法通过寻找以增加/减少安全顶点为终点的短交替路径（由完整边和不足边构成）来重新平衡 EDCS。
• 该算法使用基于顶点的数据结构来维护完整边/不足边的列表，并以每次查询 $O(1)$ 的时间高效查询关联边。
• 通过限制每个顶点的边状态变更次数，并利用 $\beta$ 与 $\beta^-$ 之间的间隙 $\beta\lambda$ 实现更新的分摊，从而实现最坏情况下的更新时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定性完全动态二分图匹配算法能否在实现优于2倍近似的同时，达到 $o(\sqrt{m})$ 的更新时间？
• RQ2 对于度数森林数 $\alpha$ 较小的图，能否将更新时间改进至在 $O(\alpha(\alpha + \log n))$ 时间内实现 $(1+\epsilon)$-近似？
• RQ3 能否在最坏情况更新时间 $O(m^{1/4}\epsilon^{-2.5})$ 内维护一个 $(3/2 + \epsilon)$-近似匹配？
• RQ4 EDCS 框架能否被适配以支持二分图中具有最坏情况保证的完全动态更新？
• RQ5 这些技术能否推广至非二分图，特别是度数森林数较小的图？

主要发现

• 该论文在最坏情况更新时间 $O(m^{1/4}\epsilon^{-2.5})$ 内实现了 $(3/2 + \epsilon)$-近似最大匹配，相较于所有先前的确定性算法，其速度在任意常数近似比下均呈多项式级提升。
• 对于度数森林数不超过 $\alpha$ 的二分图，该算法在常数 $\epsilon$ 下以 $O(\alpha(\alpha + \log n))$ 的最坏情况更新时间维护了 $(1+\epsilon)$-近似匹配，优于以往结果。
• 该算法打破了确定性完全动态匹配中 $\sqrt{m}$ 更新时间的瓶颈，这是此前任何常数近似比下已知的最佳结果。
• 使用具有有界最大负载的动态定向机制，使得边查询和状态更新操作更加高效，这对最坏情况性能至关重要。
• 通过使用完整边和不足边构造交替路径，确保更新仅需 $O(1/\lambda)$ 或 $O(\beta)$ 步，具体取决于度数森林数，且路径始终为简单且短路径。
• 该方法是首个在确定性最坏情况更新时间下实现优于2倍近似的算法，同时也是目前针对任意常数近似比下最快已知的确定性算法。