[论文解读] Equivariant symplectic homology and multiple closed Reeb orbits

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用 3

一句话总结

该论文利用 $S^1$-等变辛同调与Conley-Zehnder指标迭代公式，证明了在某些接触流形上存在多个闭合Reeb轨道。研究证明，若非退化的接触流形可嵌入到具有平凡第一陈类的凸无穷远辛流形中且该嵌入为可平移的精确接触嵌入，则在同调条件下，其至少存在两个同伦平凡的闭合Reeb轨道；并将结果推广至3维与5维情形，基于贝蒂数给出定量的下界。

ABSTRACT

We study the existence of multiple closed Reeb orbits on some contact manifolds by means of $S^1$-equivariant symplectic homology and the index iteration formula. It is proved that a certain class of contact manifolds which admit displaceable exact contact embeddings, a certain class of prequantization bundles, and Brieskorn spheres have multiple closed Reeb orbits.

研究动机与目标

• 建立具有可平移精确接触嵌入的接触流形上多个闭合Reeb轨道存在的证明。
• 利用等变辛同调将多重性结果从3维接触流形推广至更高维。
• 基于填充域的贝蒂数，提供闭合Reeb轨道数量的定量下界。
• 探究次临界Weinstein可填充接触流形是否总是至少具有两个闭合Reeb轨道。
• 探讨该方法在预量积丛与Brieskorn球面中的适用性。

提出的方法

• 利用 $S^1$-等变辛同调分析接触流形及其填充的拓扑结构。
• 应用Conley-Zehnder指标迭代公式研究Reeb轨道多重覆盖的行为。
• 在填充域 $W_0$ 上施加同调条件——特别是特定次数下的 $H_*(W_0, \Sigma; \mathbb{Q})$——以导出非零同调类。
• 施加条件 $c_1(W)|_{\pi_2(W)} = 0$ 以确保与等变同调计算的相容性。
• 利用 $\alpha - \lambda|_\Sigma$ 为恰当形式的事实，将接触形式与 $W$ 上的辛结构关联，从而可应用哈密顿动力学。
• 分析椭圆型、双曲型以及非椭圆非双曲型轨道的Conley-Zehnder指标增长，基于仅存在一个简单轨道的假设导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非退化的次临界Weinstein可填充闭合接触流形是否至少具有两个闭合Reeb轨道？
• RQ2 $S^1$-等变辛同调与指标迭代方法是否能检测到超越3维流形的高维接触流形中多个闭合Reeb轨道？
• RQ3 填充域 $W_0$ 的最小同调条件是什么，可保证存在多个闭合Reeb轨道？
• RQ4 在何种一般条件下，具有可平移精确接触嵌入的接触流形必须具有超过两个闭合Reeb轨道？
• RQ5 填充域的贝蒂数与接触边界中闭合Reeb轨道的数量之间有何关系？

主要发现

• 对于三维闭合接触流形，若其可嵌入到满足 $c_1(W)|_{\pi_2(W)} = 0$ 的凸无穷远辛流形中，则同伦平凡的闭合Reeb轨道数量至少为 $b_3(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) + 2$。
• 在三维情形下，若 $W$ 为次临界Weinstein流形，则闭合Reeb轨道数量至少为 $b_2(\Sigma; \mathbb{Q}) + 2$。
• 对于满足 $b_2(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) = 1$ 且 $b_4(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) \geq 4$ 的五维接触流形，至少存在两个在 $W$ 中同伦平凡的闭合Reeb轨道。
• 在三维情形下，$b_3(W_0, \Sigma; \mathbb{Q})$ 个简单闭合Reeb轨道的Conley-Zehnder指标恰好为 2。
• 在三维与五维情形下，假设仅存在一个简单闭合Reeb轨道，会因指标迭代公式中的无理数约束而导出矛盾。
• 该方法适用于有理同调球面、$π_1$-单射可填充五维流形以及次临界Weinstein可填充七维流形，它们均满足定理A中的条件(ii)。