[论文解读] $S^1$-equivariant symplectic homology and linearized contact homology

Frédéric Bourgeois, Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 40

一句话总结

该论文建立了 $S^1$-等变辛同调的三种等价定义，并证明了当线性化接触同调有定义时，其有理系数下的正部与 $S^1$-等变辛同调同构。关键贡献在于构建了一个严谨的 $S^1$-等变构造，作为柱状/线性化接触同调的良定义替代品，通过辛拓扑与等变 Floer 理论解决了接触同调的基础性问题。

ABSTRACT

We present three equivalent definitions of $S^1$-equivariant symplectic homology. We show that, using rational coefficients, the positive part of $S^1$-equivariant symplectic homology is isomorphic to linearized contact homology, when the latter is defined. We present several computations and applications, and introduce a rigorously defined substitute for cylindrical/linearized contact homology based on an $S^1$-equivariant construction.

研究动机与目标

• 通过构造一个良定义的、$S^1$-等变的替代理论，解决柱状同调与线性化同调中的基础性问题。
• 利用 Borel 构造、Fibered Floer 同调与并和构造，提供 $S^1$-等变辛同调的三种等价定义。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上建立 $S^1$-等变辛同调正部与线性化接触同调之间的典范同构。
• 通过与 $S^1$-等变辛同调的同构关系，将接触同调的不变性推广至 Liouville 域。
• 计算并应用该理论于次临界 Stein 流形与余切从丛，验证其与已知结果的一致性。

提出的方法

• 利用 Borel 构造，通过辛完备化流形的自由环路空间的同伦商空间定义 $S^1$-等变辛同调。
• 应用 Fiebrerized Floer 同调构造等变复形，纳入哈密顿轨迹上的 $S^1$-作用。
• 通过 $S^1$ 的表示理论（特别是权空间分解）简化复形。
• 利用并和构造，将 $S^1$-等变复形实现为自由环路空间有限维逼近的上极限。
• 使用 Gysin 正合列将正部的 $S^1$-等变辛同调与非等变同调及接触同调理论联系起来。
• 依赖有理系数以确保与线性化接触同调的同构，避免挠阻塞。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种良定义的、$S^1$-等变的辛同调构造，可避免柱状接触同调中的横截性问题？
• RQ2 能否以多种等价方式定义 $S^1$-等变辛同调，且其定义彼此同构？
• RQ3 当线性化接触同调有定义时，$S^1$-等变辛同调的正部在 $\mathbb{Q}$ 上是否同构于线性化接触同调？
• RQ4 该同构关系是否可用于定义一种不变且良定义的柱状接触同调替代品？
• RQ5 在次临界手术与特定流形（如次临界 Stein 域与余切从丛）下，同调群的行为如何？

主要发现

• 在有理系数下，$S^1$-等变辛同调的正部与线性化接触同调同构，为后者提供了严谨的替代理论。
• 对于次临界 Stein 域 $W$，有 $SH_*^{+,S^1}(W) \simeq \bigoplus_{k \geq 0} H_{*+n-1-2k}(W, \partial W)$，以新方法恢复了已知结果。
• 对于闭、定向、自旋流形 $L$（$\dim L \geq 4$）的单位余切从丛 $ST^*L$，有 $SH_*^{+,S^1}(ST^*L) \simeq H_*(\mathcal{L}L/S^1, L)$，与 Cieliebak 和 Latschev 的计算结果一致。
• 该同构关系在标准横截性假设 $(A^{cyl})$ 与 $(B_c^{cyl})$ 之外依然成立，表明 $S^1$-等变框架具有强鲁棒性。
• 该理论支持接触同调是具有有限稳定子的 $S^1$-等变同调的商的观念，且在 $\mathbb{Q}$ 上同构。
• 建立了 $SH_*^{+,S^1}$ 的次临界手术正合三角形，推广了已知结果，并为计算提供了新工具。