[论文解读] Further Bijections to Pattern-Avoiding Valid Hook Configurations

Maya Sankar|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文建立了312-和132-避免排列上的有效挂钩构型（VHCs）与第一象限中格路之间的新双射，解决了Defant关于312-避免VHC生成函数非D-有限性的开放问题。研究证明了渐近增长速率，并为132-避免情形提供了细化的双射，通过Motzkin-Tamari偏序集给出了Defant计数结果的更优雅证明。

ABSTRACT

Valid hook configurations are combinatorial objects used to understand West's stack-sorting map. We extend existing bijections corresponding valid hook configurations to intervals in partial orders on Motzkin paths. To enumerate valid hook configurations on $312$-avoiding permutations, we build off of an existing bijection into a Motzkin poset and construct a bijection to certain well-studied closed lattice walks in the first quadrant. We use existing results about these lattice paths to show that valid hook configurations on $312$-avoiding permutations are not counted by a $D$-finite generating function, resolving a question of Defant's, and additionally to compute asymptotics for the number of such configurations. We also extend a bijection of Defant's to a correspondence between valid hook configurations on $132$-avoiding permutations and intervals in the Motzkin-Tamari posets, providing a more elegant proof of Defant's enumeration thereof. To investigate this bijection, we present a number of lemmas about valid hook configurations that are generally applicable and further study the bijections of Defant's.

研究动机与目标

• 解决Defant关于312-避免排列上有效挂钩构型生成函数是否为D-有限的开放问题。
• 通过更优雅、结构化的证明，扩展Defant在132-避免排列的VHC与Motzkin-Tamari偏序集区间之间的双射。
• 在Motzkin-Defant偏序集的区间与第一象限中一类加权格路之间建立双射，从而支持渐近分析。
• 基于格路计数结果，为312-避免情形下的VHC计数提供显式的渐近估计与组合解释。

提出的方法

• 从Motzkin-Defant偏序集 $\mathcal{M}_{n-1}^C$ 的区间到 $\mathbb{N}^2$ 中一类具有特定步长集合与约束的加权格路构造双射。
• 利用这些格路的计数与渐近结果，推导出312-避免排列上有效挂钩构型的渐近增长。
• 利用有效挂钩构型的结构及其与栈排序的相互作用，定义从132-避免排列到Motzkin-Tamari偏序集 $\mathcal{M}_{n-1}^T$ 的区间的映射。
• 通过格路模型的增长率证明312-避免VHC的生成函数不是D-有限的，即其增长快于任何D-有限生成函数。
• 引入并证明关于有效挂钩构型结构的引理，以支持双射构造。
• 应用文献[9]中的推论5.1，将VHC计数三角形的第一列识别为序列 $C_k C_{k+2} - C_{k+1}^2$，将其与已知组合序列关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 312-避免排列上有效挂钩构型的生成函数是否为D-有限？如果不是，其渐近增长速率如何？
• RQ2 能否在132-避免排列上的有效挂钩构型与Motzkin-Tamari偏序集的区间之间构造显式双射，从而提供比生成函数比较更直接的证明？
• RQ3 312-避免排列上长度为 $n$ 的有效挂钩构型数量的精确渐近行为是什么？
• RQ4 对于 $1 \leq i \leq k$，$|\operatorname{VHC}_k(\operatorname{Av}_{2k+i}(312))|$ 的系数是否遵循组合模式，例如与三维Catalan数相关？
• RQ5 序列 $|\operatorname{VHC}_k(\operatorname{Av}_{2k+i}(312))|$ 的行是否为单峰或对数凹，且其作为多项式的根是否全为实数？

主要发现

• 312-避免排列上有效挂钩构型的生成函数不是D-有限的，解决了Defant提出的问题。
• 长度为 $n$ 的312-避免排列上有效挂钩构型的数量渐近增长为 $C \cdot \alpha^n \cdot n^{-3/2}$，其中常数 $C > 0$ 且 $\alpha > 1$，该结果基于格路渐近分析。
• 在Motzkin-Defant偏序集 $\mathcal{M}_{n-1}^C$ 的区间与 $\mathbb{N}^2$ 中一类加权格路之间建立了双射，证实了Defant关于这些路径的二项式变换的猜想。
• VHC计数三角形的第一列对应序列 $C_k C_{k+2} - C_{k+1}^2$，即OEIS A005700，将VHC与已知的Catalan相关组合结构联系起来。
• 数据支持猜想8.2：$|\operatorname{RedVHC}_k(\operatorname{Av}_{3k}(312))| = 2 \frac{(3k)!}{k!(k+1)!(k+2)!}$，与三维Catalan数（OEIS A005789）一致。
• VHC计数三角形的行被猜想为对数凹，且其关联多项式的根全为实数，暗示其具有更深层次的单峰与组合结构。