[论文解读] Gauge/Liouville Triality

Mina Aganagic, Nathan Haouzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 66被引用 51

一句话总结

本文建立了 q-Liouville conformal field theory、3d N=2 U(N) gauge theories 在 Ω-background 上，以及 5d N=1 U(M) gauge theories 搭载 2M 个 fundamentals 之间的三重对偶关系。研究证明，q-Liouville conformal blocks 的 Dotsenko-Fateev 积分精确等于 3d gauge 理论的划分函数，而后者在共形模数被量化时又等于 5d 理论的 Nekrasov instanton 求和。该对偶关系通过留数计算得以证明，极点由整数分拆标记，留数对应 Nekrasov 求和项。

ABSTRACT

Conformal blocks of Liouville theory have a Coulomb-gas representation as Dotsenko-Fateev (DF) integrals over the positions of screening charges. For q-deformed Liouville, the conformal blocks on a sphere with an arbitrary number of punctures are manifestly the same, when written in DF representation, as the partition functions of a class of 3d U(N) gauge theories with N=2 supersymmetry, in the Omega-background. Coupling the 3d gauge theory to a flavor in fundamental representation corresponds to inserting a Liouville vertex operator; the two real mass parameters determine the momentum and position of the puncture. The DF integrals can be computed by residues. The result is the instanton sum of a five dimensional N=1 gauge theory. The positions of the poles are labeled by tuples of partitions, the residues of the integrand are the Nekrasov summands.

研究动机与目标

• 建立 q-Liouville conformal field theory 与 3d N=2 U(N) gauge theories 在 Ω-background 上的对偶性。
• 证明 q-Liouville conformal blocks 的 Dotsenko-Fateev 表示与带有 fundamental flavors 的 3d gauge 理论的划分函数等价。
• 展示 3d gauge 理论作为 5d N=1 U(M) gauge 理论（带有 2M 个 fundamentals）的 vortex 理论而出现。
• 证明当共形模数被量化时，3d 理论的划分函数等于 5d 理论的 Nekrasov instanton 求和。
• 阐明谱对偶在连接 5d gauge 理论与 AGT 对应关系中的作用，表明 5d 理论是 AGT 关联理论的谱对偶。

提出的方法

• 使用 Dotsenko-Fateev 的自由场表示，将 q-Liouville conformal blocks 表示为对筛子电荷位置的积分。
• 将 Dotsenko-Fateev 积分化为在 M_q = (C × S^1)_q 上的 3d N=2 U(N) gauge 理论的划分函数。
• 将 3d gauge 理论耦合至 M 个 fundamental hypermultiplets，其中 chiral multiplet 的实质量编码了 Liouville 顶点算符的动量与位置。
• 通过留数计算划分函数，其中极点由整数分拆的元组标记，留数给出 Nekrasov 求和项。
• 证明所得求和与 5d N=1 U(M) gauge 理论在 M_{q,t} = (C × C × S^1)_{q,t} 上的 Nekrasov 划分函数一致，该理论带有 2M 个 fundamentals。
• 建立 5d 理论是 AGT 关联 5d 理论的谱对偶，二者共享相同的 Seiberg-Witten 曲线但拉格朗日量不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 q-Liouville conformal blocks 与 3d N=2 gauge 理论在 Ω-background 下有何关系？
• RQ2 Dotsenko-Fateev 积分在 3d gauge 理论（带有 fundamental matter）中的物理意义为何？
• RQ3 3d gauge 理论如何作为 5d N=1 gauge 理论的 vortex 理论从 5d N=1 U(M) gauge 理论中出现？
• RQ4 为何当共形模数被量化时，5d gauge 理论与 3d gauge 理论的 Nekrasov 划分函数会一致？
• RQ5 此三重对偶关系如何与 AGT 对应关系及 5d gauge 理论中的谱对偶性相关联？

主要发现

• 在带有 M+2 个 punctures 的球面上，q-Liouville conformal blocks 的 Dotsenko-Fateev 积分明确等于带有 M 个 fundamental flavors 的 3d N=2 U(N) gauge 理论的划分函数。
• Liouville 顶点算符的插入对应于将 3d gauge 理论耦合至 fundamental hypermultiplets，其中实质量编码了 puncture 的动量与位置。
• 3d gauge 理论的划分函数通过留数计算，极点由整数分拆的元组标记，留数等于 Nekrasov 求和项。
• 当共形模数取量化值时，3d gauge 理论的划分函数与 5d N=1 U(M) gauge 理论（带有 2M 个 fundamentals）的 Nekrasov instanton 求和一致。
• 5d gauge 理论是 AGT 关联 5d 理论的谱对偶，二者共享相同的 Seiberg-Witten 曲线但拉格朗日量不同。
• q-Liouville CFT、3d gauge 理论与 5d gauge 理论之间的三重对偶关系通过直接检验得以证明，对任意 N 成立，且在大 N 极限下可实现连续动量与完整的 Liouville correlation functions。