[论文解读] Knot Homology from Refined Chern-Simons Theory

Mina Aganagic, Shamil Shakirov|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 132

一句话总结

本文在具有半自由圆作用的三流形上引入了$SU(N)$规范理论的精化版本，利用精化拓扑弦理论和$N$个M5膜上的$(2,0)$理论。通过麦克唐纳多项式构造了$S$和$T$矩阵的一参数精化，为塞弗特流形和环形纽结生成了新的拓扑不变量，这些不变量被猜想为纽结同调群的庞加莱多项式，且在大$N$下与$ olimits\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$上的精化拓扑弦理论对偶。该精化理论为科瓦连科-罗赞斯基对HOMFLY多项式的范畴化提供了物理实现。

ABSTRACT

We formulate a refinement of SU(N) Chern-Simons theory on a three-manifold via the refined topological string and the (2,0) theory on N M5 branes. The refined Chern-Simons theory is defined on any three-manifold with a semi-free circle action. We give an explicit solution of the theory, in terms of a one-parameter refinement of the S and T matrices of Chern-Simons theory, related to the theory of Macdonald polynomials. The ordinary and refined Chern-Simons theory are similar in many ways; for example, the Verlinde formula holds in both. We obtain new topological invariants of Seifert three-manifolds and torus knots inside them. We conjecture that the knot invariants we compute are the Poincare polynomials of the sl(n) knot homology theory. The latter includes the Khovanov-Rozansky knot homology, as a special case. The conjecture passes a number of nontrivial checks. We show that, for a large number of torus knots colored with the fundamental representation of SU(N), our knot invariants agree with the Poincare polynomials of Khovanov-Rozansky homology. As a byproduct, we show that our theory on S^3 has a large-N dual which is the refined topological string on X=O(-1)+O(-1)->P^1; this supports the conjecture by Gukov, Schwarz and Vafa relating the spectrum of BPS states on X to sl(n) knot homology. We also provide a matrix model description of some amplitudes of the refined Chern-Simons theory on S^3.

研究动机与目标

• 在具有半自由圆作用的三流形上，利用精化拓扑弦和$(2,0)$理论，形式化精化$SU(N)$陈-西蒙斯理论。
• 通过与麦克唐纳多项式相关的参数，构造陈-西蒙斯理论中$S$和$T$矩阵的一参数精化。
• 为塞弗特三流形和环形纽结定义新的拓扑不变量，猜想其为纽结同调群的庞加莱多项式。
• 建立$S^3$上精化陈-西蒙斯理论与$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$上精化拓扑弦理论之间的大$N$对偶。
• 为$S^3$上精化陈-西蒙斯振幅提供矩阵模型描述。

提出的方法

• 通过精化拓扑弦和$N$个M5膜上的$(2,0)$理论定义精化陈-西蒙斯理论，其中精化参数$q$与麦克唐纳多项式参数相关。
• 通过一参数精化$S$和$T$矩阵显式求解理论，推广了普通陈-西蒙斯理论。
• 利用麦克唐纳多项式理论构造精化$S$和$T$矩阵，其中$S$-矩阵元素涉及$q$-变形的$6j$-符号。
• 通过对称函数的常数项提取计算路径积分，导出包含$q^{\beta}$-Pochhammer符号的乘积公式。
• 将大$N$对偶识别为$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$上的精化拓扑弦理论，其中位于拉格朗日子流形上的D-brane与纽结相关。
• 基于精化拓扑顶点和对称函数技术，为$S^3$上精化陈-西蒙斯理论的振幅导出矩阵模型描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对$SU(N)$陈-西蒙斯理论进行精化，以捕捉范畴化的纽结不变量？
• RQ2 精化$S$和$T$矩阵与麦克唐纳多项式之间的精确关系是什么？
• RQ3 塞弗特流形和环形纽结上的精化不变量是否计算纽结同调群的庞加莱多项式？
• RQ4 $S^3$上精化陈-西蒙斯理论的大$N$对偶是什么？
• RQ5 能否为$S^3$上精化陈-西蒙斯振幅构造矩阵模型形式？

主要发现

• 精化陈-西蒙斯理论通过精化拓扑弦和$N$个M5膜上的$(2,0)$理论在任意具有半自由圆作用的三流形上定义。
• 通过参数$q$对$S$和$T$矩阵进行精化，其中$S$-矩阵元素为$S_{ij} = \frac{1}{N} \sum_{w\in W} \chi_{\text{adj}}(w) \cdot \prod_{i<j} \frac{1 - q^{\beta(j-i)} z_i/z_j}{1 - z_i/z_j}$，推广了普通情形。
• $S^3$上的路径积分被计算为$Z_{N,\beta} = \prod_{1\leq i<j\leq N} (q^{\beta(j-i)}; q^\beta)_\infty$，与$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$上的精化拓扑弦路径积分一致。
• 该精化理论计算了$S^3$中以基本表示着色的环形纽结的纽结同调群的庞加莱多项式，其中$t$-分次对应于同调度。
• $S^3$上精化陈-西蒙斯理论的大$N$对偶被识别为$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$上的精化拓扑弦理论，支持了Gukov-Schwarz-Vafa猜想。
• 为$S^3$上精化陈-西蒙斯振幅提供了矩阵模型描述，基于精化拓扑顶点和对称函数技术，路径积分被表达为对称函数的常数项。