[论文解读] GCH implies the existence of many rigid almost free abelian groups

Rüdiger Göbel, Saharon Shelah|ArXiv.org|Nov 22, 2000

Advanced Topology and Set TheoryMathematics参考文献 29被引用 22

一句话总结

本文在广义连续统假设（G.C.H.）下证明了存在不可数基数 λ ≥ ℵ₁ 的强 λ-自由阿贝尔群，其具有指定的可数自由自同态环和平凡对偶。通过引入一种新颖的 Step-Lemma 及 Shelah 力迫与梯级系统中的组合工具，作者通过在连续的基数阶段上逐级提升性质，构造出此类刚性几乎自由群，将先前在 ZFC 下的结果推广至更大的基数。

ABSTRACT

We begin with the existence of groups with trivial duals for cardinals aleph_n (n in omega). Then we derive results about strongly aleph_n-free abelian groups of cardinality aleph_n (n in omega) with prescribed free, countable endomorphism ring. Finally we use combinatorial results of [Sh:108], [Sh:141] to give similar answers for cardinals >aleph_omega. As in Magidor and Shelah [MgSh:204], a paper concerned with the existence of kappa-free, non-free abelian groups of cardinality kappa, the induction argument breaks down at aleph_omega. Recall that aleph_omega is the first singular cardinal and such groups of cardinality aleph_omega do not exist by the well-known Singular Compactness Theorem (see [Sh:52]).

研究动机与目标

• 将 ZFC 下关于 ℵ₁-自由阿贝尔群具有指定自同态环的结果推广至更大的不可数基数。
• 在不假设 V = L 或 Martin 公理的前提下，探究此类刚性几乎自由阿贝尔群是否可在更弱的集合论假设下存在。
• 确定 G.C.H. 在实现强自由阿贝尔群自同态环方面的极限，特别是在 ℵω 之后的情形。
• 发展新的组合与代数技术——特别是广义 Step-Lemma 与 u-自由性条件——以在极限阶段构造此类群。
• 证明此类群的存在性在 ZFC + G.C.H. 下一致成立，即使在 ℵω+1 等奇异极限基数上，只要满足特定的自由性类型约束。

提出的方法

• 通过在连续 λ-滤子中构造强 λ-自由阿贝尔群，使得在后继基数阶段其子模与商模均为自由。
• 应用新型 Step-Lemma 在后继基数阶段扩展模，同时保持自同态环结构与平凡对偶。
• 利用 n-梯级系统与 stationary 子集控制极限序数上的自由性与自同态行为。
• 采用广义的 u-自由性条件（命题 7.3）以确保在某些基数的极限序数上并集仍为自由。
• 借助 Shelah 关于梯级系统与预测原则的组合工具，指导正确自同态环的构造。
• 通过确保同态扩张在基本元素与固定生成元关系下消失或属于 A，验证所构造群 G 满足 EndZG = A 且 G∗ = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于 V = L 的集合论假设下，是否可对 λ > ℵ₁ 构造具有指定可数自由自同态环的强 λ-自由阿贝尔群？
• RQ2 G.C.H. 在实现 ℵ₁ 之外此类刚性几乎自由群的存在性方面起到何种作用？
• RQ3 当极限序数的共尾性不可数且不共尾于 ω 时，如何在强自由阿贝尔群的构造中保持自由性？
• RQ4 该构造在 ℵω 之后可扩展到何种程度？奇异紧致性施加了哪些限制？
• RQ5 在 G.C.H. 下，是否可将任意可数自由 R-代数实现为不可数基数上强自由阿贝尔群的自同态环？

主要发现

• 在 ZFC + G.C.H. 下，对任意可数自由 R-代数 A，存在一个基数为 ℵω+1 的强 ℵω+1-自由 R-模 G，满足 EndRG = A 且自由性类型为 ⟨ℵω+1, ℵ1⟩。
• 若存在大小为 µ 的模 H 满足 H∗ = 0，则对任意正则不可数 µ，存在强 λ-自由 R-模，其中 λ = µ+ 且 |G| = λ = 2µ = µ+，满足 G∗ = 0。
• 对任意正则不可数基数 λ = µ+ 及一个强 µ-自由 A-模 H 满足 EndRH = A 与自由性类型 u = ⟨µ1, ..., µn⟩，若 λ 允许具有适当梯级系统的 stationary 且非小的子集 S，则存在强 λ-自由 G 满足 EndRG = A。
• 通过使用广义 u-自由性条件（命题 7.3），构造在极限阶段成功，确保极限序数上的并集仍为自由。
• 本文表明，一般情况下结果无法推广至 ℵω+1 之外，因为在某些 ZFC + G.C.H. 模型中，大小为 ℵω2+1 的 ℵω2+1-自由群实际上是自由的。
• 关键的技术创新是一项新型 Step-Lemma，它使得在归纳构造群的后继基数阶段能够控制自同态环与对偶结构。