[论文解读] General Genus Zhu Recursion for Vertex Operator Algebras

Michael P. Tuite, Michael Welby|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文利用施托蒂（Schottky）统一化方法，将朱（Zhu）的亏格一递归公式推广至任意亏格黎曼曲面，通过全纯微分形式与GEM形式等几何对象导出通用系数。通过模空间上的微分算子建立共形Ward恒等式，并以Siegel theta级数与亏格g的海森堡VOA分划函数表示海森堡VOA的所有n点函数及偶格VOA的分划函数。

ABSTRACT

We describe Zhu recursion for a vertex operator algebra (VOA) on a general genus Riemann surface in the Schottky uniformization where $n$-point correlation functions are written as linear combinations of $(n-1)$-point functions with universal coefficients. These coefficients are identified with specific geometric structures on the Riemann surface. We apply Zhu recursion to the Heisenberg VOA and determine all its correlation functions. For a general VOA, Zhu recursion with respect to the Virasoro vector is shown to lead to conformal Ward identities expressed in terms of derivatives with respect to the surface moduli. We derive linear partial differential equations for the Heisenberg VOA partition function and various structures such as the bidifferential of the second kind, holomorphic 1-forms and the period matrix. We also compute the genus $g$ partition function for an even lattice VOA.

研究动机与目标

• 将朱的亏格一递归公式推广至使用施托蒂统一化方法的任意亏格g黎曼曲面。
• 将递归公式中的通用系数识别为全纯微分形式与GEM形式等几何对象。
• 通过作用于分划函数的微分算子，推导VOA的共形Ward恒等式。
• 计算海森堡VOA在亏格g曲面上的所有n点函数，以及偶格VOA的亏格g分划函数。
• 建立格VOA的亏格g分划函数与Siegel theta级数之间的联系。

提出的方法

• 使用非标准参数的施托蒂统一化方法参数化亏格g黎曼曲面。
• 将亏格g的n点函数定义为依赖于施托蒂参数与曲面点的亏格零相关函数的无穷级数和。
• 通过亏格零递归与双线性型的不变性，推导亏格g的朱递归公式，得到通用系数Ψ_N(x,y)与Θ_a(x,ℓ)。
• 将Ψ_N(x,y)识别为GEM形式（具有扩展亚纯性的格林函数），在x=y处具有单极点，且在x中为N-微分，在y中为(1−N)-准微分。
• 将Virasoro 1点函数表示为作用于分划函数的微分算子，其系数来自全纯2-微分形式。
• 推导海森堡分划函数的线性偏微分方程，以及诸如第二类双微分、周期矩阵与射影联络等几何对象的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在施托蒂统一化框架下将朱对亏格一VOA的递归公式推广至任意亏格g黎曼曲面？
• RQ2 高亏格朱递归公式中的通用系数对应哪些几何对象？
• RQ3 在亏格g VOA的背景下，共形Ward恒等式如何从Virasoro生成元中自然出现？
• RQ4 海森堡VOA在亏格g曲面上的完整相关函数集合是什么？
• RQ5 偶格VOA的亏格g分划函数是什么？它与Siegel theta级数有何关系？

主要发现

• 建立了亏格g的朱递归公式，其通用系数为Ψ_N(x,y)与Θ_a(x,ℓ)，其中Ψ_N(x,y)为具有x=y处单极点的GEM形式，且在x中为N-微分，在y中为(1−N)-准微分。
• 对于海森堡VOA，所有n点函数完全由经典第二类双微分决定，推广了此前的亏格二结果。
• Virasoro 1点函数由作用于分划函数的微分算子给出，其系数来自全洁2-微分形式，从而在模空间上导出共形Ward恒等式。
• 海森堡VOA的亏格g分划函数满足包含周期矩阵、全纯1-形式与射影联络的线性偏微分方程，其中周期矩阵情形重新表述了Rauch恒等式。
• 偶格VOA V_L的亏格g分划函数为Z_{V_L}^{(g)} = Θ_L(Ω) (Z_M^{(g)})^d，其中Θ_L(Ω)为Siegel格theta函数，Z_M^{(g)}为秩一海森堡分划函数。
• 该结果确认了[T2]中的组合推导，并为格VOA分划函数提供了模形式表达，尽管其与[Co]中关于自对偶格的近期主张存在矛盾。