[论文解读] Generalization of Algebraic Operations via Enrichment

Christina Vasilakopoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用 7

一句话总结

本文通过丰富范畴理论与纤维化理论的统一概念——丰富纤维化，推广了代数结构。它通过通用度量对象，建立单子与模在余单子与余模的对偶范畴中自然丰富的关系，利用张量双范畴与双范畴框架，在一致且抽象的设定中形式化这种对偶性。

ABSTRACT

In this dissertation we examine enrichment relations between categories of dual structure and we sketch an abstract framework where the theory of fibrations and enriched category theory are appropriately united. We initially work in the context of a monoidal category, where we study an enrichment of the category of monoids in the category of comonoids under certain assumptions. This is induced by the existence of the universal measuring comonoid, a notion originally defined by Sweedler in vector spaces. We then consider the fibred category of modules over arbitrary monoids, and we establish its enrichment in the opfibred category of comodules over arbitrary comonoids. This is now exhibited via the existence of the universal measuring comodule, introduced by Batchelor. We then generalize these results to their `many-object' version. In the setting of the bicategory of V-enriched matrices, we investigate an enrichment of V-categories in V-cocategories as well as of V-modules in V-comodules. This part constitutes the core of this treatment, and the theory of fibrations and adjunctions between them plays a central role in the development. The newly constructed categories are described in detail, and they appropriately fit in a picture of duality, enrichment and fibrations as in the previous case. Finally, we introduce the concept of an enriched fibration, aimed to provide a formal description for the above examples. Related work in this direction, though from a different perspective and with dissimilar outcomes, has been realized by Shulman. We also discuss an abstraction of this picture in the environment of double categories, concerning categories of monoids and modules therein.

研究动机与目标

• 在统一框架中统一丰富范畴理论与纤维化理论。
• 通过通用度量对象，推广代数/模与余代数/余模之间的对偶性。
• 通过通用度量结构，建立单子范畴在余单子范畴中丰富，模在余模中丰富的结论。
• 发展一个抽象的丰富纤维化理论，以捕捉代数结构中观察到的对偶性与丰富性模式。
• 将这些结果从1-范畴推广至V-丰富与双范畴设定，特别是在V-矩阵与双范畴的语境下。

提出的方法

• 以Sweedler（1969）的通用度量余单子与Batchelor（2000）的通用度量余模作为基础工具，以诱导丰富性。
• 应用Grothendieck构造与索引范畴理论，以建模模与余模的纤维化与伪纤维化。
• 在V-丰富矩阵的双范畴（Kelly & Laplaza, 1980）中工作，以将丰富性推广至多对象设定。
• 引入丰富纤维化的概念，形式化基范畴上的张量结构如何提升至纤维上的丰富结构。
• 利用双范畴与双范畴框架，建模单子、余单子、模与余模之间的相互作用。
• 通过引理5.3.6与定理5.3.7，运用参数化伴随与纤维化伴随，确立所需函子与丰富的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单子范畴如何在余单子范畴中自然地实现丰富？
• RQ2 何种通用结构使模在余模中实现丰富？其在不同代数语境中如何推广？
• RQ3 代数/模与余代数/余模之间的对偶性能否在一个统一的纤维化与丰富范畴框架中形式化？
• RQ4 在双范畴或双范畴中，何种条件可确保单子的纤维化在余单子的纤维化中实现丰富？
• RQ5 如何利用通用度量余模与余单子，在高维范畴理论中构建丰富纤维化的通用理论？

主要发现

• 在适当假设下，单有单的单子范畴通过通用度量余单子在余单子范畴中实现丰富。
• 在单子上的模的全局范畴通过通用度量余模在余单子上的余模全局范畴中实现丰富。
• 在V-矩阵的双范畴中，V-范畴在V-余范畴中实现丰富，V-模在V-余模中实现丰富，其丰富结构由通用度量对象诱导。
• 当存在参数化伴随时，单子在基范畴上的纤维化在余单子的张量伪纤维化中实现丰富，如定理8.2.15所形式化。
• 当通用度量余模满足涉及张量单位的相干性条件时，单子上的模纤维化在余模的张量伪纤维化中实现丰富。
• 丰富纤维化的抽象框架为对偶性、丰富性与纤维化提供了统一的设定，未来工作可能应用于V-操作子与V-协操作子。