[论文解读] Generalizations of the Ruzsa-Szemer\'edi and rainbow Tur\'an problems for cliques

W. T. Gowers, Barnabás Janzer|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文将Ruzsa–Szemerédi问题与彩虹Turán问题推广至团（cliques），证明对于任意 r < s，存在具有 n^{r−o(1)} 个 K_s 的 n 个顶点图，使得每个 K_r 最多仅包含在一个 K_s 中。此外，还确立了当 r ≥ 4 时，ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)}，解决了关于团的广义彩虹Turán数数量级的疑问。

ABSTRACT

Considering a natural generalization of the Ruzsa-Szemer\'edi problem, we prove that for any fixed positive integers $r,s$ with $r<s$, there are graphs on $n$ vertices containing $n^{r}e^{-O(\sqrt{\log{n}})}=n^{r-o(1)}$ copies of $K_s$ such that any $K_r$ is contained in at most one $K_s$. We also give bounds for the generalized rainbow Tur\'an problem $\operatorname{ex}(n, H,$rainbow-$F)$ when $F$ is complete. In particular, we answer a question of Gerbner, M\'esz\'aros, Methuku and Palmer, showing that there are properly edge-coloured graphs on $n$ vertices with $n^{r-1-o(1)}$ copies of $K_r$ such that no $K_r$ is rainbow.

研究动机与目标

• 将Ruzsa–Szemerédi问题推广至更高阶团，确定在每个 K_r 最多仅包含在一个 K_s 中的图中，n 个顶点图所能拥有的最大 K_s 数量。
• 解决当 r ≥ 4 时广义彩虹Turán数 ex(n, K_r, rainbow-K_r) 的数量级问题。
• 开发基于几何与乘积的构造方法，在广义团设定下实现接近最优的界。
• 回答Gerbner、Mészáros、Methuku与Palmer提出的问题，关于 ex(n, K_r, rainbow-K_r) 的渐近增长行为。

提出的方法

• 通过在 R^d 中分配特定向量，构造一个几何图，以确保团的包含关系受控。
• 使用六部图构造，结合顶点置换与边着色自同构，生成多个无彩虹 K_4 的 K_6。
• 在多个基图副本之间应用乘积构造，以放大 K_6 的数量，同时保持无彩虹性质。
• 对 K_6 使用五种颜色的着色方案，并利用对称性（自同构群作用传递），以在副本间保持结构一致性。
• 利用 c-生成集与子空间维数的概念，界定国王图 H_{k,l} 中无 K_4 配置的数量。
• 通过顶点的向量表示建模边着色，并应用线性代数条件，确保不出现彩虹 K_4。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 r < s，n 个顶点图中最多可包含多少个 K_s，使得每个 K_r 最多仅包含在一个 K_s 中？
• RQ2 Ruzsa–Szemerédi 问题的下界构造能否推广至更高阶团（r ≥ 3）？
• RQ3 当 r ≥ 4 时，ex(n, K_r, rainbow-K_r) 的数量级是多少？上界 O(n^{r−1}) 是否紧致？
• RQ4 基于几何或乘积的构造能否在广义Turán问题中实现接近最优的指数？
• RQ5 国王图 H_{k,l} 的 ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4) 的渐近行为如何？

主要发现

• 对于任意固定的 r < s，存在一个 n 个顶点的图，其包含 n^{r−o(1)} 个 K_s，且每个 K_r 最多仅包含在一个 K_s 中，从而建立了近乎最优的下界。
• 该构造实现了 n^{r−o(1)} 个 K_s，其指数与 Ruzsa–Szemerédi 情况（r=2, s=3）一致，但已推广至更高阶团。
• 证明了当所有 r ≥ 4 时，ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)}，解决了该广义彩虹Turán数数量级的开放问题。
• 通过使用六部图与保色置换的乘积构造，至少可获得 n^{12−o(1)} 个无彩虹 K_4 的 K_6，优于基础构造。
• 对于国王图 H_{k,l}，建立了 ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4) = n^{k+l−1−o(1)} 的界，表明该指数与底层向量空间的维数一致。
• 论文证实，ex(n, K_r, rainbow-K_r) 的上界 O(n^{r−1}) 是紧致的，因为下界与 n^{r−1−o(1)} 匹配。