[论文解读] Generalized bent functions - sufficient conditions and related constructions

Samir Hodžić, Enes Pašalić|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过利用分量布尔函数谱的替代表征，推导出偶数 $ q $ 下广义弯（gbent）函数 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ 的充分条件。关键贡献在于一个紧凑的谱公式，使得广义 gbent 函数的通用构造成为可能，且在 $ q=4,8 $ 时已验证其充分性，并强烈暗示其必要性，尤其是在广义 Maiorana-McFarland 类中。

ABSTRACT

The necessary and sufficient conditions for a class of functions $f:\mathbb{Z}_2^n ightarrow \mathbb{Z}_q$, where $q \geq 2$ is an even positive integer, have been recently identified for $q=4$ and $q=8$. In this article we give an alternative characterization of the generalized Walsh-Hadamard transform in terms of the Walsh spectra of the component Boolean functions of $f$, which then allows us to derive sufficient conditions that $f$ is generalized bent for any even $q$. The case when $q$ is not a power of two, which has not been addressed previously, is treated separately and a suitable representation in terms of the component functions is employed. Consequently, the derived results lead to generic construction methods of this class of functions. The main remaining task, which is not answered in this article, is whether the sufficient conditions are also necessary. There are some indications that this might be true which is also formally confirmed for generalized bent functions that belong to the class of generalized Maiorana-McFarland functions (GMMF), but still we were unable to completely specify (in terms of necessity) gbent conditions.

研究动机与目标

• 推导当 $ q $ 为偶数时，函数 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ 为广义弯（gbent）的充分条件。
• 提出一种基于分量布尔函数的沃尔什谱的广义沃尔什-哈达玛变换的新谱表征。
• 为任意偶数 $ q $（包括非 2 的幂次）开发广义 gbent 函数的通用构造方法。
• 研究所推导的充分条件是否在结构化类（如广义 Maiorana-McFarland 函数）中也具有必要性。

提出的方法

• 对于 $ q = 2^h $，表示为 $ f(x) = a_0(x) + 2a_1(x) + \cdots + 2^{h-1}a_{h-1}(x) $；对于 $ 2^{h-1} < q < 2^h $，采用改进形式 $ f(x) = \frac{q}{2}a(x) + a_0(x) + \cdots + 2^{h-2}a_{h-2}(x) $，以简化谱分析。
• 推导广义沃尔什-哈达玛变换的紧凑公式，其表达式基于分量函数 $ a_i $ 的沃尔什谱。
• 利用谱公式，建立变换矩阵 $ W^T $ 等于带符号的西尔维斯特-哈达玛矩阵 $ \pm H^{(r)}_{2^p} $ 的充分条件。
• 将该方法应用于广义 Maiorana-McFarland 类（GMMF），证明 GMMF 函数满足所推导的充分条件。
• 利用沃尔什谱在取反和移位下的性质，如 $ W_g(u) = -W_{g \oplus 1}(u) $ 和 $ W_{g \oplus \alpha}(u) = (-1)^{u \cdot \alpha} W_g(u) $，构造满足谱条件的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有偶数 $ q $（包括非 2 的幂次）推导出 gbent 性质的一般充分条件？
• RQ2 所推导的充分条件在广义 Maiorana-McFarland 函数等结构化类中是否也具有必要性？
• RQ3 如何利用分量布尔函数的沃尔什谱，高效计算并表征广义沃尔什-哈达玛变换？
• RQ4 谱条件 $ W^T = \pm H^{(r)}_{2^p} $ 对于 gbent 函数的构造有何含义？

主要发现

• 推导出一个紧凑且高效的公式，用于根据分量布尔函数的沃尔什谱，计算 $ f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_q $ 的广义沃尔什-哈达玛谱。
• 所推导的 gbent 充分条件在 $ q=4 $ 和 $ q=8 $ 时与已知的必要且充分条件一致，表明其在一般情况下可能也具有必要性。
• 对于 $ q=16 $，通过构造分量函数使得谱矩阵 $ W^T $ 匹配 $ \pm H^{(2)}_{8} $ 或 $ \pm H^{(3)}_{8} $，验证了条件的充分性。
• 广义 Maiorana-McFarland 类（GMMF）的 gbent 函数满足所推导的充分条件，支持了该条件在某些情况下可能具有必要性的猜想。
• 该方法可通过选择满足特定带符号哈达玛矩阵条件的谱组合的分量函数，实现 gbent 函数的通用构造。