[论文解读] Generalized Charges, Part II: Non-Invertible Symmetries and the Symmetry TFT

Lakshya Bhardwaj, Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 30

一句话总结

提出 q-charges 的概念在一个广义对称 S 的拓扑缺陷正是 Symmetry TFT Z(S) 的拓扑缺陷，即 S 的 Drinfeld 中心，适用于可逆与不可逆（范畴）对称性，且对 2d 与 3d 进行了详细分析。

ABSTRACT

Consider a d-dimensional quantum field theory (QFT) $\mathfrak{T}$, with a generalized symmetry $\mathcal{S}$, which may or may not be invertible. We study the action of $\mathcal{S}$ on generalized or $q$-charges, i.e. $q$-dimensional operators. The main result of this paper is that $q$-charges are characterized in terms of the topological defects of the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) of $\mathcal{S}$, also known as the ``Sandwich Construction''. The SymTFT is a $(d+1)$-dimensional topological field theory, which encodes the symmetry $\mathcal{S}$ and the physical theory in terms of its boundary conditions. Our proposal applies quite generally to any finite symmetry $\mathcal{S}$, including non-invertible, categorical symmetries. Mathematically, the topological defects of the SymTFT form the Drinfeld Center of the symmetry category $\mathcal{S}$. Applied to invertible symmetries, we recover the result of Part I of this series of papers. After providing general arguments for the identification of $q$-charges with the topological defects of the SymTFT, we develop this program in detail for QFTs in 2d (for general fusion category symmetries) and 3d (for fusion 2-category symmetries).

研究动机与目标

• 表征任意维度下不可逆对称性的广义电荷（q-charge）。
• 证明 q-charges 由对称性范畴 S 的 Drinfeld center Z(S) 的拓扑缺陷给出，即 Symmetry TFT Z(S)。
• 将 Part I 的结果扩展到不可逆的高范畴对称性，并提供具体的 2d 与 3d 实现。

提出的方法

• 引入 Symmetry TFT Z(S) 以及带边界条件 Bsym_S 与 Bphys_T 的 sandwich 构造。
• 将 q-charges 认定为 Z(S) 的拓扑缺陷，即对称性范畴 S 的 Drinfeld center Z(S)。
• 通过将 bulk 缺陷 Qq+1 在区间紧致化来计算广义电荷，产生在物理论边界上的 q 电荷 Oq。
• 通过 BF 型（阿贝尔 p-形式）理论和非阿贝尔的二维对称性 S3 的例子来说明缺陷标签和电荷。
• 解释 gauging 及其对 SymTFT 与 Drinfeld center 的影响，证明在 gauging 下 Z(S)=Z(S′)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d 维中，如何为非可逆对称性 S 定义广义电荷？
• RQ2 q-charges 与 SymTFT Z(S) 的拓扑缺陷之间的精确关系？
• RQ3 Drinfeld center 如何同时对可逆与不可逆对称性编码电荷？
• RQ4 在低维示例（2d 与 3d）中如何计算 q-charges，并将它们与已知的对称结构联系？
• RQ5 在 SymTFT 框架中，gauging 对对称性及其电荷有何影响？

主要发现

• 对称性 S 的 q-charges 是在 SymTFT Z(S) 中的 (q+1)-维拓扑算子。
• q-charges 的集合形成 (d−1)-范畴 Z(S)，即对称性范畴 S 的 Drinfeld center。
• 对于阿贝尔 BF 型对称性，Drinfeld center 重现标准的凝聚/ theta 缺陷及与电荷相关的投影。
• 在 2d 情况下，若存在非阿贝尔有限群 G(0)，Z(S) 的拓扑缺陷以共轭类和稳定子标记，产生真实与扭曲扇区的电荷。
• 对 S 的非异常部分进行 gauging 将使 Z(S) 不变，只改变对称性边界条件，因此广义电荷保持不变。
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