[论文解读] Generalized Enrichment for Categories and Multicategories

Tom Leinster|ArXiv.org|Jan 29, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文提出了一种广义框架，用于在高维结构中对多范畴进行丰富化，表明Tₙ-多范畴可被丰富于Tₙ₊₁-多范畴中，其中Tₙ是与n-多胞体相关联的单子。关键贡献在于定义了'fc-多范畴'——一种统一范畴、多范畴、双范畴和双范畴的通用二维结构——并证明在fc-多范畴中丰富的范畴自然支持双模构造，该框架在松弛多范畴及对称单子范畴中的运算子方面具有应用。

ABSTRACT

In this paper we answer the question: `what kind of a structure can a general multicategory be enriched in?' The answer is, in a sense to be made precise, that a multicategory of one type can be enriched in a multicategory of the type one level up. In the case of ordinary categories this reduces to something surprising: a category may be enriched in an `fc-multicategory', a very general kind of 2-dimensional structure encompassing monoidal categories, plain multicategories, bicategories and double categories. (It turns out that fc-multicategories also provide a natural setting for the bimodules construction.) An extended application is given: the relaxed multicategories of Borcherds and Soibelman are explained in terms of enrichment.

研究动机与目标

• 回答基础性问题：'一般多范畴可以被丰富于何种结构？'
• 为任意单子T定义广义的T-丰富多范畴概念，将经典丰富化从单子范畴扩展至更广范畴。
• 识别'fc-多范畴'为一种通用的二维结构，其涵盖范畴、多范畴、双范畴与双范畴。
• 证明双模构造在fc-多范畴的语境中自然出现。
• 将该框架应用于松弛多范畴，通过在T₂-多范畴中丰富化来解释Borcherds–Soibelman的构造。

提出的方法

• 通过将经典丰富化推广，使用定义在合适范畴E上的单子T来定义T-丰富多范畴，其中复合运算由T控制。
• 利用由n-多胞体构造的opetopic单子Tₙ来定义Tₙ-多范畴，其中T₀ = id（范畴），T₁ = 自由幺半群（普通多范畴），更高阶的Tₙ用于更高维复合。
• 引入'fc-多范畴'作为通用二维结构，其推广了单子范畴、多范畴、双范畴与双范畴。
• 通过嵌套图序列An的余上确界构造T-图上的自由多范畴，使用合适性公理（笛卡尔范畴、稳定余积、可交换余上确界）。
• 通过遗忘函子的左伴随证明自由多范畴的存在性，利用单子性定理，并验证当(E, T)合适时，(E′, T′)亦合适。
• 通过证明松弛多范畴源于在T₂-多范畴中的丰富化，将该框架应用于松弛多范畴，将对称单子范畴中的运算子解释为丰富化的普通多范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般多范畴可以被丰富于何种结构，超越单子范畴？
• RQ2 使用opetopic单子Tₙ，丰富化的概念如何从范畴推广至更高维多范畴？
• RQ3 'fc-多范畴'在统一双范畴、双范畴与双模构造中扮演何种角色？
• RQ4 Borcherds与Soibelman的松弛多范畴如何通过在T₂-多范畴中丰富化来理解？
• RQ5 对称单子范畴中的运算子如何融入所提出的丰富普通多范畴框架？

主要发现

• Tₙ-多范畴可被丰富于Tₙ₊₁-多范畴中，建立了基于opetopic单子的丰富化结构层级。
• 在'fc-多范畴'中丰富的范畴是良好定义的，且包含所有标准二维范畴构造，如双模。
• 双模构造在fc-多范畴的语境中自然出现，并产生一个统一范畴、函子与概形的结构Bim(Span)。
• T-图上的自由T-多范畴被构造为嵌套图序列An的余上确界，其构造依赖于(E, T)的合适性。
• Borcherds与Soibelman的松弛多范畴被证明等价于在T₂-多范畴中丰富的范畴，从而通过丰富化提供了概念性解释。
• 对称单子范畴中的运算子被识别为丰富化的普通多范畴，自然嵌入广义丰富化框架中。