[论文解读] Generalized immersions and minimal hypersurfaces in compact symmetric spaces

Ricardo A. E. Mendes, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了紧致对称空间中闭合、浸入的极小超曲面的指标加零值的线性下界，该下界依赖于其第一贝蒂数。在满足一般性条件或环境空间为积空间的条件下，进一步将该下界改进为仅关于指标的仿射下界，方法是采用具有反对称第二基本形式的广义等距浸入概念。

ABSTRACT

We show that closed, immersed, minimal hypersurfaces in a compact symmetric space satisfy a lower bound on the index plus nullity, which depends linearly on their first Betti number. Moreover, if either the minimal hypersurface satisfies a certain genericity condition, or if the ambient space is a product of two CROSSes, we improve this to a lower bound on the index alone, which is affine in the first Betti number. To prove these, we introduce a generalization of isometric immersions in Euclidean space. Compact symmetric spaces admit (and in fact are characterized by) such a structure with skew-symmetric second fundamental form.

研究动机与目标

• 建立紧致对称空间中闭合、浸入的极小超曲面的指标加零值的下界。
• 在附加几何条件下，将该下界改进为仅依赖于指标的下界。
• 引入对称空间中广义等距浸入的框架，其特征为第二基本形式的反对称性。
• 通过具有反对称第二基本形式的此类广义浸入的存在性，对紧致对称空间进行刻画。

提出的方法

• 在欧氏空间中推广等距浸入的概念，并将其适应于紧致对称空间。
• 定义此类浸入的第二基本形式为反对称形式，从而将其与对称空间的几何结构联系起来。
• 利用谱理论与雅可比算子分析，将指标与零值与第一贝蒂数等拓扑不变量联系起来。
• 应用紧致对称空间的曲率与对称性性质，特别是其为CROSSs乘积的情形，以进一步优化指标下界。
• 利用环境空间的结构施加一般性条件，以简化指标估计。
• 利用具有反对称第二基本形式的此类广义浸入的存在性，对紧致对称空间进行刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致对称空间中，闭合、浸入的极小超曲面的指标加零值的最小可能值是多少？其表达式如何依赖于其第一贝蒂数？
• RQ2 在何种几何条件下，指标加零值的下界可被改进为仅依赖于指标的下界？
• RQ3 广义等距浸入中第二基本形式的反对称性，如何与环境流形的对称空间结构相关联？
• RQ4 能否通过具有反对称第二基本形式的此类广义浸入的存在性，对紧致对称空间的类进行刻画？
• RQ5 环境空间的积结构——特别是其为两个CROSSs的积——在改进指标下界中起到何种作用？

主要发现

• 建立了紧致对称空间中闭合、浸入的极小超曲面的指标加零值的线性下界，该下界依赖于第一贝蒂数。
• 当超曲面满足一般性条件，或环境空间为两个CROSSs的积时，该下界可改进为仅关于指标的仿射下界。
• 紧致对称空间可通过具有反对称第二基本形式的广义等距浸入的存在性来刻画。
• 广义浸入框架为分析对称空间中的极小超曲面提供了新的几何工具。
• 在指定条件下，指标下界关于第一贝蒂数为仿射形式，表明拓扑对谱性质有强烈影响。
• 第二基本形式的反对称性是连接浸入几何与对称空间曲率及对称性的关键结构特征。