[论文解读] Generalized Legendre polynomials and related congruences modulo $p^2$

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入广义勒让德多项式 $ P_n(a,x) $，以研究涉及二项式系数的超几何型和模 $ p^2 $ 的同余式。通过递推关系和 $ p $-进赋值的性质，作者证明了 $ P_{p-1}(a,x) \equiv (-1)^{\langle a\rangle_p} P_{p-1}(a,-x) \pmod{p^2} $，该结果推广并统一了 Rodriguez-Villegas 和 Sun 关于形如 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^2} $ 的超同余猜想。主要贡献在于为这类和模 $ p^2 $ 建立了一个新的通用同余框架。

ABSTRACT

For any positive integer $n$ and variables $a$ and $x$ we define the generalized Legendre polynomial $P_n(a,x)=\sum_{k=0}^n\b ak\b{-1-a}k(\frac{1-x}2)^k$. Let $p$ be an odd prime. In the paper we prove many congruences modulo $p^2$ related to $P_{p-1}(a,x)$. For example, we show that $P_{p-1}(a,x)\e (-1)^{_p}P_{p-1}(a,-x)\mod {p^2}$, where $_p$ is the least nonnegative residue of $a$ modulo $p$. We also generalize some congruences of Zhi-Wei Sun, and determine $\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\binom{3k}k{54^{-k}}$ and $\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{b-a}k\mod {p^2}$, where $[x]$ is the greatest integer function. Finally we pose some supercongruences modulo $p^2$ concerning binary quadratic forms.

研究动机与目标

• 将 Rodriguez-Villegas 和 Sun 关于涉及二项式系数的超几何和模 $ p^2 $ 的猜想性超同余式进行推广。
• 引入并研究广义勒让德多项式 $ P_n(a,x) $，作为分析此类和模 $ p^2 $ 的统一工具。
• 建立 $ P_n(a,x) $ 的递推关系，以实现模 $ p^2 $ 层级的约化与同余分析。
• 在 $ f $ 满足特定条件时，证明关于 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} f(k) \equiv 0 \pmod{p^2} $ 的一般同余式，扩展先前结果。
• 提出并探讨形如 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{b-a}{k} m^k \pmod{p^2} $ 的和的新猜想。

提出的方法

• 作者定义广义勒让德多项式 $ P_n(a,x) = \sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{a+k}{k} \left(\frac{x-1}{2}\right)^k $，当 $ a = n $ 时退化为经典勒让德多项式。
• 他们推导出一个关键递推式：$ (a+1)P_n(a+1,x) - (2a+1)xP_n(a,x) + aP_n(a-1,x) = -2(2a+1)\binom{a}{n}\binom{a+n}{n} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n+1} $，该式在 $ a \not\equiv 0,-1 \pmod{p} $ 时成立。
• 通过将该递推式模 $ p^3 $ 约化并在 $ n = p-1 $ 处求值，他们推导出 $ P_{p-1}(a,x) \pmod{p^2} $ 的同余式，特别关注对称性 $ P_{p-1}(a,x) \equiv (-1)^{\langle a\rangle_p} P_{p-1}(a,-x) \pmod{p^2} $。
• 他们利用二项式系数的 $ p $-进性质，包括 $ \binom{a}{k} \equiv \binom{\langle a\rangle_p}{k} \pmod{p} $，以实现模 $ p^2 $ 的约化。
• 他们应用关于勒让德符号以及素数表示为 $ x^2 + dy^2 $ 的已知结果，以计算特殊情况，例如 $ p = x^2 + 7y^2 $ 时 $ \sum \binom{-1/4}{k}^2 64^k \pmod{p^2} $ 的值。
• 他们猜想在 $ p = x^2 + 7y^2 $ 时，对形如 $ \sum \binom{-1/4}{k}^2 64^k \equiv (-1)^{\frac{x-1}{2}}(2x - \frac{p}{2x}) \pmod{p^2} $ 的 $ p^2 $-层级同余式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义勒让德多项式如何统一并推广已知的模 $ p^2 $ 超几何和的超同余式？
• RQ2 $ P_{p-1}(a,x) \pmod{p^2} $ 的模行为是什么？它与 $ p $-进分数部分 $ \langle a\rangle_p $ 有何关系？
• RQ3 能否利用 $ P_n(a,x) $ 的递推关系推导出形如 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} f(k) \pmod{p^2} $ 的新同余式？
• RQ4 形如 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{-1/4}{k}^2 64^k $ 的和的精确 $ p^2 $-层级同余式是什么？它们如何依赖于 $ p $ 表示为 $ x^2 + 7y^2 $ 的形式？
• RQ5 该框架能否扩展至对包含 $ \binom{-1/6}{k}\binom{-5/6}{k} $ 及其他广义二项式系数的和提出 $ p^2 $-同余猜想？

主要发现

• 主要结果为 $ P_{p-1}(a,x) \equiv (-1)^{\langle a\rangle_p} P_{p-1}(a,-x) \pmod{p^2} $，该式将勒让德多项式的对称性推广至 $ p^2 $ 层级。
• 当 $ a = -1/2, -1/3, -1/4, -1/6 $ 时，该对称性恢复了 Rodriguez-Villegas 在模 $ p^2 $ 下的猜想，例如 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^2} $。
• 当 $ \langle a\rangle_p $ 为奇数时，该恒等式蕴含 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} \frac{1}{2^k} \equiv 0 \pmod{p^2} $，推广了早期结果。
• 本文证明了对于任意 $ p $-整值函数 $ f $，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} \left( (-1)^{\langle a\rangle_p} f(k) - \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} (-1)^m f(m) \right) \equiv 0 \pmod{p^2} $，这是一个广泛推广。
• 当 $ f(k) = \binom{2k}{k}/4^k $ 时，可推出当 $ \langle a\rangle_p $ 为奇数时，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{4^k} \equiv 0 \pmod{p^2} $。
• 猜想 5.4 提出了当 $ p = x^2 + 7y^2 \equiv 1 \pmod{4} $ 时，对 $ \sum \binom{-1/4}{k}^2 64^k \equiv (-1)^{\frac{x-1}{2}}(2x - \frac{p}{2x}) \pmod{p^2} $ 的 $ p^2 $-层级同余式，且对其他情形也给出了类似形式。