[论文解读] Generalized Polylogarithms in Maple

Hjalte Frellesvig|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文介绍了在 Maple 2018 中实现广义多 polylogarithm、多重 polylogarithm 和多重 zeta 值，将解析运算与数值计算整合到统一框架中。该方法利用无穷级数实现收敛性，通过函数恒等式实现解析延拓，并利用 Hölder 卷积实现收敛加速，从而在发散区域和临界区域均能实现稳健计算。

ABSTRACT

This paper describes generalized polylogarithms, multiple polylogarithms, and multiple zeta values, along with their implementation in Maple 2018. This set of related functions is of interest in high energy physics as well as in number theory. Algorithms for the analytical manipulation and numerical evaluation of these functions are described, along with the way these features are implemented in Maple.

研究动机与目标

• 在 Maple 2018 中提供广义多 polylogarithm、多重 polylogarithm 和多重 zeta 值的统一通用实现。
• 解决在广泛使用的数学软件环境中缺乏整合符号运算与数值计算功能的工具问题，以处理这些特殊函数。
• 通过支持费曼积分的可靠计算（其可约化为这些函数），推动高能物理研究。
• 通过引入先进的收敛处理与解析延拓算法，扩展 Maple 在特殊函数方面的功能。

提出的方法

• 数值计算通过多重 polylogarithm 的无穷级数定义实现。
• 在发散区域，该方法应用函数恒等式与积分层级变换，将值映射到收敛区域。
• 对多重 zeta 值及收敛性较差的情况，采用 Hölder 卷积实现收敛加速。
• 通过专用工具包与 Maple 的特殊函数变换框架集成，支持符号运算。
• 通过符号代数实现对 polylogarithmic 函数的符号映射的表示与操作，支持对有理系数与数值常数的可配置处理。
• 通过 GeneralizedPolylog 和 MultiPolylog 函数，提供对谐波 polylogarithm 与 Nielsen 的 polylogarithm 的数值计算接口。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在通用计算机代数系统（如 Maple）中高效且稳健地实现广义多 polylogarithm 及其相关函数？
• RQ2 针对多重 polylogarithm 的发散与收敛缓慢情况，哪些算法策略是有效的？
• RQ3 如何将符号运算与数值计算能力集成，以同时支持解析运算与高精度数值评估？
• RQ4 符号代数在计算环境中对简化与组织 polylogarithmic 函数结构起到何种作用？
• RQ5 如何有效应用 Hölder 卷积等收敛加速技术于多重 zeta 值及相关函数？

主要发现

• Maple 2018 中的实现首次提供了将符号运算与数值计算整合于广义多 polylogarithm、多重 polylogarithm 和多重 zeta 值的统一系统。
• 通过函数恒等式与积分变换的应用，即使在多重 polylogarithm 的标准收敛区域之外，也能实现可靠计算。
• Hölder 卷积显著提升了多重 zeta 值及其他收敛缓慢情况的收敛速度。
• 符号代数框架支持对 polylogarithmic 函数的结构化表示，可配置处理有理系数与数值常数。
• 通过主函数 GeneralizedPolylog 与 MultiPolylog，成功暴露了对谐波 polylogarithm 与 Nielsen 的 polylogarithm 的数值计算接口。
• 该实现通过内部工具支持对 GPLs 的指标求导，从而支持高级解析运算。