[论文解读] Generalized Rabinowitz Floer homology and coisotropic intersections

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用 9

一句话总结

该论文将Rabinowitz Floer同调推广至任意余维的共变子流形，引入带有多个Lagrange乘子的广义作用泛函，以研究接触和稳定共变子流形上的叶状交点。关键贡献在于证明了局部Rabinowitz Floer同调同构于子流形的奇异同调，从而在适当的Hofer范数界下，表明叶状交点的数量至少等于子流形的贝蒂数。

ABSTRACT

In this paper, we extend Rabinowitz Floer homology theory which has been established and extensively studied for hypersurfaces to coisotropic submanifolds of higher codimension. With this generalized version of Rabinowitz Floer homology theory, we explore the coisotropic intersection problem which interpolates between the Lagrangian intersection problem and the closed orbit problem. To be specific, we study the existence of leafwise intersection points on contact coisotropic submanifolds and the displaceability of stable coisotropic submanifolds.

研究动机与目标

• 将Rabinowitz Floer同调从超曲面推广至任意余维的共变子流形。
• 研究接触和稳定共变子流形上叶状交点的存在性。
• 建立一个同调不变量——广义Rabinowitz Floer同调——以检测共变子流形的几何与拓扑特征。
• 证明广义作用泛函的局部Rabinowitz Floer同调同构于子流形的奇异同调。

提出的方法

• 为余维k的共变子流形引入带有多个Lagrange乘子的广义Rabinowitz作用泛函。
• 通过作用泛函在有界作用窗口内的临界点定义广义Rabinowitz Floer同调。
• 使用扰动技巧和连续映射，关联不同作用窗口并建立不变性。
• 应用Arzelà-Ascoli定理证明局部作用窗口内临界点的有限性。
• 依赖于共变子流形特征叶层上的Reeb流，将Reeb轨道推广至更高余维情形。
• 通过子流形上的Morse理论论证，建立局部Rabinowitz Floer同调与奇异同调之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Rabinowitz Floer同调是否能检测高余维共变子流形上叶状交点的存在性？
• RQ2 能否计算共变子流形的局部Rabinowitz Floer同调，并将其与奇异同调关联？
• RQ3 哈密顿量的Hofer范数与其诱导的叶状交点数量之间存在何种关系？
• RQ4 广义Rabinowitz作用泛函在扰动和连续映射下行为如何？
• RQ5 在何种条件下，稳定或接触的共变子流形是可平移的？

主要发现

• 局部Rabinowitz Floer同调与余维子流形的奇异同调同构，系数为Z/2。
• 局部Rabinowitz Floer同调的维数至少等于子流形贝蒂数之和。
• 对于Hofer范数小于非平凡广义Reeb轨道最小作用量的哈密顿典范同胚，叶状交点的数量下界为子流形的贝蒂数。
• 广义Rabinowitz Floer同调在连续映射下保持不变，且同构关系在不同作用窗口间保持。
• 局部窗口中广义作用泛函的临界点与子流形上的点之间存在双射关系，边界算子中无级联现象。
• 从标准Rabinowitz泛函到扰动泛函的连续映射诱导了从奇异同调到局部Rabinowitz Floer同调的单射同态。