[论文解读] Generalized superelliptic Riemann surfaces

Rubén A. Hidalgo, Saúl Quispe+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文将超椭圆曲线的概念推广为广义超椭圆黎曼曲面，其特征为存在一个中心的、阶为 $n$ 的自同构 $\tau$，使得商曲面 $\chi/\langle\tau\rangle$ 的亏格为零。主要贡献在于证明：除特定家族外，此类曲面具有唯一的广义超椭圆自同构群（阶为 $n$），从而可构造代数模型，并确立曲面可在其模域上定义的条件。

ABSTRACT

A closed Riemann surface $\mathcal X$, of genus $g \geq 2$, is called a generalized superelliptic curve of level $n \geq 2$ if it admits an order $n$ conformal automorphism $τ$ so that $\mathcal X/\langle τ angle$ has genus zero and $τ$ is central in ${ m Aut}(\mathcal X)$; the cyclic group $H=\langle τ angle$ is called a generalized superelliptic group of level $n$ for $\mathcal X$. These Riemann surfaces are natural generalizations of hyperelliptic Riemann surfaces (when $n=2$). We provide an algebraic curve description of these Riemann surfaces in terms of their groups of automorphisms. Also, we observe that the generalized superelliptic group $H$ of level $n$ is unique, with the exception of a very particular family of exceptional generalized superelliptic Riemann surfaces for $n$ even. In particular, the uniqueness holds if either: (i) $n$ is odd or (ii) the quotient $\mathcal X/H$ has all its cone points of order $n$ (for instance, when $\mathcal X$ is a superelliptic curve of level $n$). In the non-exceptional case, we use this uniqueness property of its generalized superelliptic group $H$ to observe that the corresponding curves are definable over their fields of moduli if ${ m Aut}(\mathcal X)/H$ is neither trivial or cyclic.

研究动机与目标

• 将超椭圆曲线的概念推广，以包含商轨道丛中非均匀的锥点阶数。
• 通过自同构群与代数曲线模型表征广义超椭圆黎曼曲面。
• 确立此类曲面可在其模域上定义的条件。
• 解决阶为 $n$ 的广义超椭圆自同构群的唯一性问题，识别出当 $n$ 为偶数时的例外情况。

提出的方法

• 使用 Singerman 的有限极大签名列表，对商曲面 $\chi/\langle\tau\rangle$ 的可能轨道丛结构进行分类。
• 应用群论技术分析自同构 $\tau$ 在 ${\rm Aut}(\mathcal{X})$ 中的中心性及其对代数模型中指数 $l_j$ 的影响。
• 构造形如 $y^n = \prod_{j=1}^r (x - a_j)^{l_j}$ 的代数曲线，其中 $a_j$ 互异且满足 $\gcd(n, l_1, \dots, l_r) = 1$，以表示这些曲面。
• 利用商群 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 对自同构结构进行分类，并确定曲线的同构类。
• 应用弗克辛群理论及从三角群到弗克辛群的满同态，将底层黎曼曲面构造为上半平面的商。
• 通过莫比乌斯变换、置换以及模 $n$ 下的单位乘法，建立同构判别准则，以对等价的曲线模型进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼曲面 $\mathcal{X}$ 的自同构群中，阶为 $n$ 的广义超椭圆自同构群何时唯一？
• RQ2 在何种条件下，广义超椭圆黎曼曲面可在其模域上定义？
• RQ3 当商群 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 非循环且非平凡时，广义超椭圆曲面的自同构群结构如何？
• RQ4 商曲面 $\mathcal{X}/H$ 中的锥点阶数如何影响曲面的唯一性与模域性质？
• RQ5 低亏格下广义超椭圆曲线的完整分类是什么？它们与代数模型之间有何关系？

主要发现

• 阶为 $n$ 的广义超椭圆自同构群在 $\mathcal{X}$ 中是唯一的，除非 $n$ 为偶数且 $\mathcal{X}$ 属于特定例外家族。
• 对于非例外的广义超椭圆曲面，群 $H$ 的唯一性使得可通过莫比乌斯变换与指数上的单位乘法构造同构类。
• 若商群 $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$ 既非平凡也非循环，则广义超椭圆曲面可在其模域上定义。
• 若 $\overline{G}$ 为平凡或循环群，则当商曲面 $\mathcal{X}/G$ 具有奇符号型时，曲面仍可在其模域上定义。
• 模域上可定义性失效的唯一情况是：非例外的广义超椭圆曲线，且 $\overline{G}$ 为平凡或循环群，同时 $\mathcal{X}/G$ 具有偶符号型。
• 本文提供了基于 Harvey 条件与从三角群到群的满同态，对所有亏格 $g \geq 2$ 的广义超椭圆曲线进行算法化构造的完整方法。