[论文解读] Generating fuzzy measures from additive measures

Jian‐Zhang Wu, Gleb Beliakov|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2023

Multi-Criteria Decision MakingDecision Sciences被引用 3

一句话总结

本文提出了一种框架，通过允许范围调整、随机游走和有针对性的转换策略，从可加测度生成多样化的模糊测度。通过利用计算简单的可加测度作为种子，该方法能够高效生成结构化的模糊测度——如超模、超可加、k阶和p对称测度——同时增强线性扩展中的多样性并减少冗余。

ABSTRACT

Fuzzy measures, also referred to as nonadditive measures, emerge from the foundational concept of additive measures by transforming additivity into monotonicity. In comparison to the expansive $2^n$ coefficients of fuzzy measures, additive measures encompass just $n$ coefficients, enabling them to efficiently provide initial viable solutions across various domains including normal, super/submodular, super/subadditive, (anti)buoyant, and other specialized fuzzy measures. To further enhance the effectiveness of these measures, techniques such as allowable range adjustments and random walks have been introduced, aiming to decrease the redundancy in linear extensions and bolster the random or uniform nature of the generated measures. In addition to innovating the ideas of random generation and adjustment strategies for multiple types of fuzzy measures, this paper also sheds light on the profound connection between additive and fuzzy measures.

研究动机与目标

• 解决在将可加测度用作模糊测度生成的初始解时，其线性扩展中多样性有限且重复率高的问题。
• 开发系统化技术，将可加测度转换为多种结构化模糊测度，包括超模、超可加、k阶和p对称类型。
• 通过可调可行性范围和受控随机游走过程，增强生成模糊测度的随机性并减少冗余。
• 建立统一框架，连接可加测度与模糊测度，实现在多个专用模糊测度类别中的高效生成。
• 将该方法扩展至对偶测度，实现子模、子可加和高阶变体的推导。

提出的方法

• 采用允许范围调整，修改选定子集的测度值，同时保持单调性及非可加性或非模性等结构约束。
• 实施随机游走策略，交换线性扩展顺序中相邻的子集，通过基于邻近子集值导出的边界确保可行性。
• 应用特定调整策略（S1–S7），将可加测度转换为目标模糊测度，包括k-可加、k-非可加、k-非模和p-对称类型。
• 使用Möbius表示及非可加性/非模性指数，计算高阶测度中值调整的可行边界。
• 引入对偶测度转换，从现有的可加到模糊测度映射中生成子模、子可加和高阶变体。
• 通过缩放使所有生成测度满足μ(N) = 1，以确保测度空间内的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将可加测度转换为超模、超可加和k阶等结构化模糊测度？
• RQ2 在保持模糊测度的单调性和结构特性下，调整子集测度的可行值范围是什么？
• RQ3 如何设计随机游走过程以增强模糊测度线性扩展的多样性并减少冗余？
• RQ4 为保持k阶模糊测度中零高阶非可加性或非模性指数，需要何种调整策略？
• RQ5 该框架能否扩展至从同一可加测度基础生成对偶测度（如子模、子可加）？

主要发现

• 允许范围技术通过考虑邻近子集、M"obius表示及非可加性指数，实现子集测度值的安全且可行的调整。
• 随机游走过程通过在排序中对相邻子集进行受控交换，显著减少了线性扩展的冗余，尤其在结合范围约束时效果更明显。
• 将可加测度转换为k-非模测度需要仔细调整|A| ≤ k的μ(A)，并通过特定公式（S7）将变化传播至更高阶子集。
• 对于k-非可加和k-非模测度，该方法通过基于邻近差异最小值的精确值调整，确保零高阶非可加性和非模性指数。
• 该框架能从单一可加测度成功生成正常、超模、超可加、p-对称、k-容错、k-最大和k-交互等多样且有效的测度实例。
• 对偶测度概念的整合使得能够推导出子模、子可加和高阶变体，扩展了该方法的适用性。