[论文解读] Geometric and monotonic properties of hyper-Bessel functions

İbrahim Aktaş, Árpád Baricz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 31被引用 23

一句话总结

本文研究了归一化超贝塞尔函数的几何与单调性质，重点关注其星性、凸性及一致凸性的半径。通过欧拉-雷利不等式与拉盖尔-波利亚整函数类，作者推导出这些半径的显式超越方程与紧致界，将经典贝塞尔函数的已知结果推广至超贝塞尔情形，对第一个正零点及相关函数给出了精确不等式。

ABSTRACT

Some geometric properties of a normalized hyper-Bessel functions are investigated. Especially we focus on the radii of starlikeness, convexity, and uniform convexity of hyper-Bessel functions and we show that the obtained radii satisfy some transcendental equations. In addition, we give some bounds for the first positive zero of normalized hyper-Bessel functions, Redheffer-type inequalities, and bounds for this function. In this study we take advantage of Euler-Rayleigh inequalities and Laguerre-P\'{o}lya class of real entire functions, intensively.

研究动机与目标

• 将此前仅适用于经典贝塞尔函数的几何函数论结果，推广至更广泛的超贝塞尔函数类。
• 确定归一化超贝塞尔函数的星性、凸性及一致凸性半径。
• 为归一化超贝塞尔函数的第一个正零点及其相关量建立精确界。
• 利用无穷乘积与求和表示，分析零点的单调性与交错性质。
• 通过拉盖尔-波利亚类与欧拉-雷利和，推导类似雷德费尔德（Redheffer）的不等式与超贝塞尔函数的界。

提出的方法

• 利用归一化超贝塞尔函数 $ f_{\alpha_d}(z) = z J_{\alpha_d}(z) $ 的无穷级数与乘积表示，其源自广义超几何函数。
• 对 $ f_{\alpha_d}(z) $ 的零点应用欧拉-雷利不等式，使用其零点的 $ (d+1) $ 次幂倒数的前两个初等对称和。
• 利用拉盖尔-波利亚类分析实整函数结构，证明零点的交错性与单调性性质。
• 推导 $ f_{\alpha_d} $ 的对数导数的微分不等式，以刻画星性、凸性与一致凸性半径。
• 通过幂级数比的单调性与洛必达法则的单调形式，证明比值 $ \Sigma_{\alpha_d}(x) = \frac{\log J_{\alpha_d}(x)}{\log \left(1 - \frac{x^{d+1}}{j_{\alpha_d,1}^{d+1}} \right)} $ 是递减的。
• 通过分析 $ J_{\alpha_d}(x) $ 的对数导数的绝对单调性，建立超贝塞尔函数的类似雷德费尔德的不等式与界。

实验结果

研究问题

• RQ1 归一化超贝塞尔函数的星性、凸性与一致凸性半径所满足的精确超越方程是什么？
• RQ2 归一化超贝塞尔函数第一个正零点的界与经典贝塞尔函数的已知界相比如何？
• RQ3 归一化超贝塞尔函数的零点与其导数的零点之间存在何种关系？这与交错性质有何关联？
• RQ4 能否通过拉盖尔-波利亚类与欧拉-雷利和，推导出超贝塞尔函数的类似雷德费尔德的不等式与界？
• RQ5 经典贝塞尔函数的几何与单调性质在多大程度上可自然推广至超贝塞尔函数？

主要发现

• 星性半径 $ r^\star(f_{\alpha_d}) $ 是方程 $ z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 的最小正根，满足不等式 $ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} < r^\star(f_{\alpha_d}) < \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} $，其中 $ A(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 1) $。
• 凸性半径 $ r_c(f_{\alpha_d}) $ 是方程 $ (d+1) z J'_{\alpha_d}(z) + z^2 J''_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 的最小正根，且满足不等式 $ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)}{d+2}} < (r_c(f_{\alpha_d}))^{d+1} < \frac{(d+2)(d+1)^{d+1} A(\alpha_d) B(\alpha_d)}{(d+2)^2 B(\alpha_d) - (2d+3) A(\alpha_d)} $，其中 $ B(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 2) $。
• 一致凸性半径 $ r_{uc}(f_{\alpha_d}) $ 是方程 $ 2z^2 J''_{\alpha_d}(z) + 5z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 的最小正根，且是方程 $ 1 + 2z \frac{f''_{\alpha_d}(z)}{f'_{\alpha_d}(z)} = 0 $ 在区间 $ (0, \psi_{\alpha_d,1}) $ 内的唯一解。
• 函数 $ J_{\alpha_d}(z) $ 的第一个正零点 $ j_{\alpha_d,1} $ 满足欧拉-雷利界 $ \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} < \Delta_1 < \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $，其中 $ \Delta_1 = \sum_{n \geq 1} j^{- (d+1)}_{\alpha_d,n} $，并对 $ \Delta_2 $ 与 $ \Delta_3 $ 推导出更高阶界。
• 函数 $ x \mapsto \log J_{\alpha_d}(x) / \log \left(1 - x^{d+1}/j_{\alpha_d,1}^{d+1} \right) $ 在区间 $ (0, j_{\alpha_d,1}) $ 上严格递减，由此导出不等式 $ 1 < \Sigma_{\alpha_d}(x) < \frac{j_{\alpha_d,1}^{d+1}}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $。
• 函数 $ q_{\alpha_d}(x) = \exp\left( \log \left( \frac{x^{S(\alpha_d)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \right) - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $ 在区间 $ [0, j_{\alpha_d,1}^{d+1}) $ 上绝对单调，由此导出类似雷德费尔德的不等式 $ J_{\alpha_d}(x^{1/(d+1)}) \leq \frac{x^{S(\alpha_d)/(d+1)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \exp\left( - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $。