[论文解读] Geometric Endoscopy and Mirror Symmetry

Edward Frenkel, Edward Witten|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文通过分析 $T$-duality 在奇异 Hitchin 纤维上的行为，探讨了几何朗兰兹对应中的几何内播（geometric endoscopy），这些奇异纤维对应于具有有限自同构群的局部系统（即内播数据）。利用镜像对称与对偶纤维上的 $A$-brane 族，本文表明 $L$-群侧 $Z_2$-轨道奇异点上的 $B$-brane 会对偶化为具有两个不可约分支的 $A$-brane，从而精确揭示了内播现象与 Hitchin 系统中奇异纤维结构之间的对应关系。

ABSTRACT

The geometric Langlands correspondence has been interpreted as the mirror symmetry of the Hitchin fibrations for two dual reductive groups. This mirror symmetry, in turn, reduces to T-duality on the generic Hitchin fibers, which are smooth tori. In this paper we study what happens when the Hitchin fibers on the B-model side develop orbifold singularities. These singularities correspond to local systems with finite groups of automorphisms. In the classical Langlands Program local systems of this type are called endoscopic. They play an important role in the theory of automorphic representations, in particular, in the stabilization of the trace formula. Our goal is to use the mirror symmetry of the Hitchin fibrations to expose the special role played by these local systems in the geometric theory. The study of the categories of A-branes on the dual Hitchin fibers allows us to uncover some interesting phenomena associated with the endoscopy in the geometric Langlands correspondence. We then follow our predictions back to the classical theory of automorphic functions. This enables us to test and confirm them. The geometry we use is similar to that which is exploited in recent work by B.-C. Ngo, a fact which could be significant for understanding the trace formula.

研究动机与目标

• 理解在存在奇异 Hitchin 纤维（特别是对应于内播局部系统的轨道奇异点）时的几何朗兰兹对应。
• 将已知的光滑 Hitchin 纤维之间的 $T$-duality 推广至奇异纤维，尤其是由 $SO_3$ 局部系统（结构群约化为 $O_2$）产生的 $\mathbb{Z}_2$-轨道奇异点。
• 通过分析奇异纤维上 $A$-brane 的对偶族，阐明内播在几何朗兰兹程序中的作用。
• 通过 Higgs 纤维丛与单值数据的几何，将物理启发的镜像对称框架与自守形式中的经典内播联系起来。

提出的方法

• 利用 Strominger–Yau–Zaslow (SYZ) 框架，将几何朗兰兹对偶性解释为对偶群 $G$ 与 ${}^L\!G$ 的 Hitchin 纤维丛的镜像对称。
• 在纤维上应用 $T$-duality，将 $L$-群侧的 $B$-brane 与 $G$-侧的 $A$-brane 关联，即使在奇异纤维上也成立。
• 分析 $\mathcal{M}_H({}^L\!G)$ 上 $\mathbb{Z}_2$-轨道奇异点处支持的 $B$-brane，这些点对应于自同构群为 $\mathbb{Z}_2$ 的 $SO_3$ 局部系统，并证明其族等价于 $\mathrm{Rep}(\mathbb{Z}_2)$。
• 利用亏格一曲线上 $SO_3$ 局部系统的单值数据与 holonomy 表示，对结构群约化为 $O_2$ 的 $SO_3$ 局部系统进行分类，通过 $w_2$ 类加以区分。
• 应用四维规范理论的 $S$-对偶框架，将 $A$-brane 族与 Hecke 算子及特征丛联系起来。
• 将奇异纤维上 $A$-brane 的导出族与经典内播理论联系起来，尤其借助 B.-C. Ngô 对迹公式的工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Hitchin 纤维的奇异纤维上，特别是 $\mathbb{Z}_2$-轨道奇异点上，$T$-duality 如何作用于 $B$-brane？
• RQ2 在有限自同构群的内播局部系统上支持的 $B$-brane 的对偶 $A$-brane 族为何？
• RQ3 在亏格一曲线上，结构群为 $O_2$ 的 $SO_3$ 局部系统的单值表示如何对 Hitchin 纤维的奇异纤维进行分类？
• RQ4 奇异 Hitchin 纤维的几何结构在何种方式上反映了朗兰兹程序中的经典内播？
• RQ5 在对偶纤维上，$A$-brane 族如何编码对应于 $\mathrm{Rep}(\mathbb{Z}_2)$ 的两个不可约分支？

主要发现

• 在 $L$-群侧 $\mathbb{Z}_2$-轨道奇异点上支持的 $B$-brane 族等价于 $\mathrm{Rep}(\mathbb{Z}_2)$，后者有两个不可约对象。
• 在 $G$-侧纤维上，$A$-brane 的对偶族恰好有两个不可约分支，分别对应于 $\mathbb{Z}_2$ 的两个不可约表示，从而验证了对偶性预测。
• 在亏格一曲线上，每个阶为 2 的非平凡线丛 $\mathcal{S}$，恰好存在两个自同构群为 $\mathbb{Z}_2$ 的 $SO_3$ 局部系统，其区别在于第二 Stiefel-Whitney 类 $w_2$ 的取值。
• 当 $w_2 = 0$ 时，$SO_3$ 局部系统对应于 $\mathcal{M}_H(C;SO_3,0)$ 纤维上的 $\mathbb{Z}_2$-轨道奇异点；当 $w_2 \neq 0$ 时，其对应于 $\mathcal{M}_H(C;SO_3,\theta)$，显示出拓扑上的区别。
• $SO_2$ 中方程 $V_2^2 = M^{-1}$ 的两个解 $V_2$ 与 $-V_2$ 对应于两个不同的 $SO_3$ 局部系统，且由于其中一个解的 $w_2$ 非零，二者在拓扑上不等价。
• 分析确认，具有 $\mathbb{Z}_2$-轨道结构的奇异纤维正是与椭圆内播相关的那些，且其 $A$-brane 族与几何朗兰兹对应中预期的内播数据完全一致。