[论文解读] Geometric pressure for multimodal maps of the interval

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文建立了广义多模区间映射（具有非平坦临界点）的非一致双曲性与几何压强之间多种概念的等价性。在所有周期轨道均为双曲排斥的条件下，证明了几何压强函数 $ P(t) $ 在区间 $ (t_-, t_+) $ 上实解析，且对每个 $ t \in (t_-, t_+) $，存在唯一的平衡态与共形测度，具有强统计性质。

ABSTRACT

This paper is an interval dynamics counterpart of three theories founded earlier by the authors, S. Smirnov and others in the setting of the iteration of rational maps on the Riemann sphere: the equivalence of several notions of non-uniform hyperbolicity, Geometric Pressure, and Nice Inducing Schemes methods leading to results in thermodynamical formalism. We work in a setting of generalized multimodal maps, that is smooth maps f of a finite union of compact intervals in R into R with non-flat critical points, such that on its maximal forward invariant set K the map f is topologically transitive and has positive topological entropy. We prove that several notions of non-uniform hyperbolicity of f|_K are equivalent (including uniform hyperbolicity on periodic orbits, TCE & all periodic orbits in K hyperbolic repelling, Lyapunov hyperbolicity, and exponential shrinking of pull-backs). We prove that several definitions of geometric pressure P(t), that is pressure for the map f|_K and the potential - t log |f'|, give the same value (including pressure on periodic orbits, "tree" pressure, variational pressures and conformal pressure). Finally we prove that, provided all periodic orbits in K are hyperbolic repelling, the function P(t) is real analytic for t between the "condensation" and "freezing" parameters and that for each such t there exists unique equilibrium (and conformal) measure satisfying strong statistical properties.

研究动机与目标

• 将复平面上有理映射的遍历理论结果推广至区间动力系统，特别针对广义多模映射。
• 统一并证明区间设定下各种非一致双曲性定义的等价性。
• 在最大区间 $ (t_-, t_+) $ 上建立几何压强 $ P(t) $ 的解析性，其中 $ t_- $ 和 $ t_+ $ 分别为凝聚参数与冻结参数。
• 证明对每个 $ t \in (t_-, t_+) $，存在唯一平衡态测度与共形测度，且其具有强统计性质。
• 开发并应用优良的诱导方案，将诱导映射的压强与原映射关联，以确保解析性与测度的存在性。

提出的方法

• 在广义多模映射类中工作：光滑映射 $ f: \widehat{I} \to \mathbb{R} $，其中 $ \widehat{I} $ 为有限个紧区间之并，且具有非平坦临界点。
• 定义最大正向不变集 $ K \subset \widehat{I} $，使得 $ f|_K $ 拓扑传递且具有正拓扑熵。
• 使用“优良诱导方案”的概念，在一个优良集合上构造一个规范的诱导映射，从而通过诱导系统计算压强。
• 证明几何压强定义的等价性：周期轨道上的压强、‘树’压强、变分压强与共形压强。
• 应用诱导方案，将诱导映射的解析性性质传递至原映射，利用反向共形压强与Patterson-Sullivan型构造。
• 通过诱导方法建立唯一平衡态测度的存在性，并证明其为共形测度，且具有强统计性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于广义多模区间映射，各种非一致双曲性概念——如周期轨道上的均匀双曲性、TCE、李雅普诺夫双曲性以及原像拉伸的指数衰减——是否等价？
• RQ2 对 $ f|_K $ 与势函数 $ -t\log|f'| $，不同定义的几何压强——周期轨道压强、树压强、变分压强与共形压强——是否给出相同值？
• RQ3 几何压强函数 $ P(t) $ 是否在整个区间 $ (t_-, t_+) $ 上实解析，其中 $ t_- $ 与 $ t_+ $ 分别为凝聚参数与冻结参数？
• RQ4 对每个 $ t \in (t_-, t_+) $，是否存在唯一一个平衡态测度，其同时为共形测度且满足强统计性质？
• RQ5 仅基于周期轨道的双曲排斥条件，能否在不假设导数增长条件或慢递归性条件下，建立共形测度的存在性与唯一性？

主要发现

• 在 $ K $ 中所有周期轨道均为双曲排斥，等价于周期轨道上的均匀双曲性、TCE、李雅普诺夫双曲性以及原像拉伸的指数衰减。
• 几何压强 $ P(t) $ 在开区间 $ (t_-, t_+) $ 上为实解析函数，其中 $ t_- $ 与 $ t_+ $ 分别为凝聚参数与冻结参数。
• 对每个 $ t \in (t_-, t_+) $，存在唯一的平衡态测度与唯一的共形测度，对应势函数 $ -t\log|f'| $。
• 唯一平衡态测度满足强统计性质，包括相关系数的指数衰减与中心极限定理。
• 在 $ K $ 中所有周期轨道均为双曲排斥的假设下，几何压强定义的等价性（周期轨道压强、树压强、变分压强与共形压强）成立。
• 证明表明，仅当 $ t = t_- $ 或 $ t = t_+ $ 时，有 $ P(t) = -t \chi(p) $ 对某个周期轨道 $ p $ 成立，从而确认了解析域的最大性。