[论文解读] Geometric realization of the local Langlands correspondence for representations of conductor three

Naoki Imai, Takahiro Tsushima|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为非阿赋值局部域残数特征为二的三阶导子二维韦尔群表示的局部兰道斯 correspondence 提供了一个纯粹局部的几何证明。通过卢宾-塔特曲线的半稳定约化及显式上同调计算，作者在这些曲线的平展上同调中通过尖形式类型实现了对应关系，通过 ɛ 因子计算验证了表示的匹配。

ABSTRACT

We prove a realization of the local Langlands correspondence for two-dimensional representations of a Weil group of conductor three in the cohomology of Lubin-Tate curves by a purely local geometric method.

研究动机与目标

• 建立二维韦尔群表示（导子为三）的局部兰道斯对应在纯粹局部几何下的实现。
• 克服在卢宾-塔特曲线上同调中实现局部兰道斯对应时缺乏纯粹局部证明的不足。
• 通过显式计算验证卢宾-塔特曲线上同调中的尖形式类型表示与相应韦尔群表示在局部兰道斯对应下的匹配。
• 在二进制情形下显式计算 ɛ 因子，以局部不变量确认对应关系。

提出的方法

• 利用 [IT17] 中描述的卢宾-塔特曲线的半稳定约化，该约化通过纯粹局部方法获得。
• 研究半稳定约化中出现的椭圆曲线分量的一阶平展上同调，其实现了一个导子为三的本原韦尔群表示。
• 显式描述韦尔群与除法代数单位在卢宾-塔特曲线的上同调上的作用。
• 利用通过 [Mie14] 实现的局部雅克布-兰道斯对应，将 GL₂(K) 与 D× 在上同调中的表示联系起来。
• 通过 Deligne–Laumon 乘积公式计算表示的 ɛ 因子，并利用 [Del84] 将问题约化到相等特征情形。
• 通过匹配阿廷导子与 ɛ 因子验证对应关系，从而通过尖形式类型确认局部兰道斯对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维韦尔群表示（导子为三）的局部兰道斯对应是否可通过纯粹局部几何构造，从卢宾-塔特曲线的上同调中实现？
• RQ2 是否能仅通过局部不变量在二进制情形下通过匹配 ɛ 因子来验证该对应？
• RQ3 卢宾-塔特曲线上同调中的尖形式类型表示是否精确对应于导子为三的本原韦尔群表示？
• RQ4 卢宾-塔特曲线上同调中导子为三的表示的局部兰道斯对应是否与局部雅克布-兰道斯对应相容？
• RQ5 在强烈分歧情形下，ɛ 因子的符号能否通过纯粹局部方法计算？

主要发现

• 二维韦尔群表示（导子为三）的局部兰道斯对应通过纯粹局部几何方法实现在卢宾-塔特曲线的平展上同调中。
• 卢宾-塔特曲线半稳定约化中椭圆曲线分量的上同调实现了一个导子为三的本原韦尔群表示。
• 上同调中 GL₂(K) 与 D× 表示之间的对应与局部雅克布-兰道斯对应相容。
• 通过 Deligne–Laumon 公式与局部约化技术计算的 ɛ 因子确认了表示的匹配。
• 通过将强烈分歧的阿贝尔扩张约化到相等特征情形，确定了 ɛ 因子的符号，与局部兰道斯对应精确匹配。
• 本文确认，卢宾-塔特曲线上同调中的尖形式类型表示在局部兰道斯对应下精确对应于导子为三的韦尔群表示。