[论文解读] Geometric representations of the formal affine Hecke algebra

Gufang Zhao, Changlong Zhong|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文通过定向上同调理论，建立了形式仿射赫克代数的几何实现，表明其通过斯坦伯格流形上的卷积作用于施普林格纤维的上同调。关键结果将吕斯蒂格的 $K$-理论作用推广至任意定向上同调，通过余项构造统一了经典与广义上同调实现。

ABSTRACT

For any formal group law, there is a formal affine Hecke algebra defined by Hoffnung, Malagón-López, Savage, and Zainoulline. Coming from this formal group law, there is also an oriented cohomology theory. We identify the formal affine Hecke algebra with a convolution algebra coming from the oriented cohomology theory applied to the Steinberg variety. As a consequence, this algebra acts on the corresponding cohomology of the Springer fibers. This generalizes the action of classical affine Hecke algebra on the $K$-theory of the Springer fibers constructed by Lusztig. We also give a residue interpretation of the formal affine Hecke algebra, which coincides with the residue construction of Ginzburg, Kapranov, and Vasserot when the formal group law comes from a 1-dimensional algebraic group.

研究动机与目标

• 将吕斯蒂格的仿射赫克代数在施普林格纤维上的 $K$-理论作用推广至任意定向上同调理论。
• 在斯坦伯格流形的等变定向上同调中，构造形式仿射赫克代数作为卷积代数。
• 提供形式仿射赫克代数的余项理论解释，扩展吉涅茨堡–卡普兰诺夫–瓦塞罗特的构造。
• 在施普林格纤维上同调上建立形式仿射赫克代数的几何作用，该作用通过关于威尔群不变量的正部分商化实现。

提出的方法

• 形式仿射赫克代数被实现为在 $G \times \mathbb{G}_m$-作用下，斯坦伯格流形 $Z = \widetilde{\mathcal{N}} \times_{\mathcal{N}} \widetilde{\mathcal{N}}$ 的等变定向上同调。
• 利用与理论公理相容的上推与下拉操作，通过等变定向上同调中的卷积积定义代数结构。
• 通过斯坦伯格流形中对应关系上的推-拉操作，构造代数在 $A(\mathcal{B}_x)$（即施普林格纤维的上同调）上的作用。
• 结构定理将 $\mathbf{H}_F$ 识别为半直积 $ (S/S^W_+) \rtimes R[W] $，其中 $S$ 为形式群代数，$R$ 为系数环。
• 提供了余项解释，推广了针对一维形式群律的吉涅茨堡–卡普兰诺夫–瓦塞罗特构造。
• 该作用通过 $\mathbf{H}_F / (S^W_+)$ 实现，且与中心化子 $G_x$ 的分量群 $C_x$ 的作用可交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式仿射赫克代数能否在任意定向上同调理论中作为卷积代数实现？
• RQ2 形式仿射赫克代数是否以推广吕斯蒂格 $K$-理论作用的方式作用于施普林格纤维的上同调？
• RQ3 吉涅茨堡–卡普兰诺夫–瓦塞罗特的余项构造如何推广至一般形式群律？
• RQ4 形式仿射赫克代数的标准模的结构如何用上同调数据表示？
• RQ5 在正特征下，形式仿射赫克代数的不可约表示与威尔群表示有何关系？

主要发现

• 形式仿射赫克代数 $\mathbf{H}_F$ 同构于卷积代数 $A_{G \times \mathbb{G}_m}(Z)$，其中 $Z$ 为斯坦伯格流形。
• 代数 $\mathbf{H}_F$ 作用于施普林格纤维 $\mathcal{B}_x$ 的定向上同调 $A(\mathcal{B}_x)$ 上，且该作用通过 $\mathbf{H}_F / (S^W_+)$ 实现。
• 该作用与分量群 $C_x$ 的作用可交换，推广了吕斯蒂格的 $K$-理论结果。
• 当系数域 $k_\chi$ 的特征为零时，$\mathbf{H}_F$ 的不可约表示由德利涅–兰兰德斯–吕斯蒂格字符公式分类。
• 在 $A(\mathcal{B}_x) \otimes_R k_\chi$ 中的同调分量 $A_{x,\chi,\nu}$ 具有唯一的不可约商 $L_{x,\chi,\nu}$，即不可约 $\mathbf{H}_F$-模。
• 在正特征下，不可约表示虽与 $k_\chi[W]$ 的表示对应，但 $A(\mathcal{B}_x)$ 中的若尔当–霍尔德重数仍未知。