[论文解读] Geometric theta-lifting for the dual pair GSp_{2n}, GSO_{2m}

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文在特征 >2 的光滑射影曲线上传统实现了对偶对 (GSp_{2n}, GSO_{2m}) 的几何朗兰兹函子性，表明几何 theta-提升函子通过涉及亚瑟 SL₂ 的 L-群同态与 Hecke 函子可交换。关键结果是在某些内插局部系统上构造了 Bun_{GSp_4} 上的自守 Hecke 特征层，实现了几何朗兰兹对应的一个特例。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H=GSO_{2m}, G=GSp_{2n} over X, where H splits over an etale two-sheeted covering of X. Write Bun_G and Bun_H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. We show that for m\le n (respectively, for m>n) the theta-lifting functor from D(Bun_H) to D(Bun_G) (respectively, from D(Bun_G) to D(Bun_H)) commutes with Hecke functors with respect to a morphism of the corresponding L-groups involving the SL_2 of Arthur. So, they realize the geometric Langlands functoriality for the corresponding morphisms of L-groups. As an application, we prove a particular case of the geometric Langlands conjectures for GSp_4. Namely, we construct the automorphic Hecke eigensheaves on Bun_{GSp_4} corresponding to the endoscopic local systems on X.

研究动机与目标

• 将几何朗兰兹程序扩展至在曲线的 étale 双覆盖上分裂的辛群 GSp_{2n} 和正交群 GSO_{2m}。
• 建立几何 theta-提升函子通过涉及亚瑟 SL₂ 的 L-群同态与 Hecke 函子可交换。
• 在 Bun_{GSp_4} 上为内插局部系统构造自守 Hecke 特征层，实现几何朗兰兹猜想的一个特例。

提出的方法

• 在 G-主丛模空间的 ℓ-进层的导出范畴之间定义几何 theta-提升函子 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G) 和 F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H)。
• 在无 ramification 情况下，利用中值表示和 theta 函数泛函的框架来定义提升函子。
• 构造一个 L-群同态 H^L × G_m → G^L（当 m ≤ n 时）或 G^L × G_m → H^L（当 m > n 时），该同态控制 Hecke 兼容性。
• 利用 Hecke 函子及其在 D(Bun_G) 和 D(Bun_H) 上的作用，通过 L-群同态证明其兼容性。
• 利用层空间上的群胚作用以及 Hecke 代数上分次模的结构来证明主定理。
• 应用一个关键引理，即在映射 f^{κ_G} 下的不变量，以证明某些子模等于完整的 Hecke 代数，从而确立特征层性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的 L-群同态下，对偶对 (GSp_{2n}, GSO_{2m}) 的几何 theta-提升函子是否与 Hecke 函子可交换？
• RQ2 几何朗兰兹函子性如何在基曲线不分裂但于 étale 双覆盖上分裂的辛群上实现？
• RQ3 能否通过几何 theta-提升在 Bun_{GSp_4} 上为内插局部系统构造自守 Hecke 特征层？
• RQ4 亚瑟 SL₂ 在控制 theta-提升函子 Hecke 兼容性的 L-群同态中起什么作用？
• RQ5 Hecke 代数的分次结构以及群胚 T 的作用如何与特征层性质相关？

主要发现

• 当 m ≤ n 时，几何 theta-提升函子 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G) 通过涉及亚瑟 SL₂ 的同态 H^L × G_m → G^L 与 Hecke 函子可交换。
• 当 m > n 时，函子 F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H) 通过 G^L × G_m → H^L 与 Hecke 函子可交换，从而在两个方向上建立了函子性。
• 当 n = m 时，L-群同态在 G_m 分量上是平凡的，从而简化了对应关系。
• 该构造在某些内插局部系统上生成了 Bun_{GSp_4} 上的自守 Hecke 特征层，实现了几何朗兰兹猜想的一个特例。
• 证明依赖于一个关键引理：若 Hecke 代数 H_{Q(G)} 的分次子模 W 包含零次分量 H_G，则 W = H_G。
• Hecke 作用的兼容性通过层空间上的群胚作用与 Weil 表示在 L-群同态下的不变性之间的相互作用得以确立。