[论文解读] On mirabolic D-modules

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了当$G$-概形$X$上具有有限个轨道时，$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$上的$\mathscr{D}$-模与开稠密轨道上$G$-等变局部系统之直接像同构的判别准则。该理论应用于$X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$且$G = SL_n$的情形，引入了一对伴随函子$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$，将$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上的镜像$\mathscr{D}$-模与$X$上的$\mathscr{D}$-模联系起来，并证明了$\mathsf{HC}$在镜像$\mathscr{D}$-模的阿贝尔范畴上是正合的。

ABSTRACT

Let an algebraic group G act on X, a connected algebraic manifold, with finitely many orbits. For any Harish-Chandra pair (D,G) where D is a sheaf of twisted differential operators on X, we form a left ideal D.g in D generated by the Lie algebra g, of G. Then, D/D.g is a holonomic D-module and its restriction to a unique Zariski open dense G-orbit in X is a G-equivariant local system. We prove a criterion saying that the D-module D/D.g is isomorphic, under certain (quite restrictive) conditions, to a direct image of that local system to X. We apply this criterion in the special case where the group G=SL(n) acts diagonally on X = F imes F imes P^{n-1}, a triple product where F is the flag manifold for SL(n) and P^{n-1} is the projective space. We further relate D-modules on F imes F imes P^{n-1} to D-modules on the space SL(n) imes P^{n-1} via a pair, CH, HC, of adjoint functors, analogous to those used in Lusztig's theory of character sheaves. A second important result of the paper provides an explicit description of these functors showing that the functor HC gives an exact functor on the abelian category of mirabolic D-modules.

研究动机与目标

• 建立当$G$-概形$X$上的$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$与开稠密轨道上$G$-等变局部系统的直接像同构时的判别准则。
• 通过一对伴随函子$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$研究$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上的镜像$\mathscr{D}$-模范畴，其构造类比于吕施蒂格的特征层函子。
• 证明函子$\mathsf{HC}$在镜像$\mathscr{D}$-模的阿贝尔范畴上是正合的，从而推广了经典哈里什-钱德拉理论的结果。
• 通过一个关于黎曼-希尔伯特对应的关系猜想，将镜像哈里什-钱德拉$\mathscr{D}$-模$\mathcal{G}^{\theta,c}$的单值性与基尼兹赫尼克-萨莫洛德奇科夫连接联系起来。

提出的方法

• 在具有有限个轨道的$G$-概形$X$上构造$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$的$\mathscr{D}$-模，其中$\mathscr{D}$是扭曲微分算子层，$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G$。
• 利用余切丛上的矩映射$T^*X \to \mathfrak{g}^*$，并结合$b$-函数根的界，判断$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$是否同构于$j_*\mathcal{V}^\circ$或$j_!\mathcal{V}^\circ$，即开轨道上局部系统的直接像。
• 在$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上定义镜像$\mathscr{D}$-模$\mathcal{G}^{\theta,c} = \mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$，其中$\mathfrak{Z}_\theta$是$G$-双不变微分算子代数中的极大理想。
• 引入一对伴随函子$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$，将$X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上的$\mathscr{D}$-模与$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上的镜像$\mathscr{D}$-模联系起来，推广了吕施蒂格与金兹堡的构造。
• 证明函子$\mathsf{HC}$在镜像$\mathscr{D}$-模的阿贝尔范畴上是正合的，从而推广了经典哈里什-钱德拉模的性质。
• 猜想$\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$的de Rham局部系统同构于$\mathcal{R}_{\Theta,q}$，通过莫里塔等价与黎曼-希尔伯特对应将其与KZ连接联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$G$-概形$X$上的$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$与开稠密轨道上$G$-等变局部系统的直接像同构？
• RQ2 伴随函子$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$如何将$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上的镜像$\mathscr{D}$-模范畴与$\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上的$\mathscr{D}$-模范畴联系起来？
• RQ3 $\mathsf{HC}$函子在镜像$\mathscr{D}$-模的阿贝尔范畴上是否正合，如经典哈里什-钱德拉理论中所述？
• RQ4 镜像哈里什-钱德拉$\mathscr{D}$-模$\mathcal{G}^{\theta,c}$在正则区域$\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}$上的单值性为何？其与基尼兹赫尼克-萨莫洛德奇科夫连接有何关系？
• RQ5 当$c$为良好值时，黎曼-希尔伯特对应是否将$\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$映射为局部系统$\mathcal{R}_{\Theta,q}$？

主要发现

• 当$G = SL_n$作用于$X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$时，$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$在矩映射与$b$-函数根的条件满足下，同构于$j_*\mathcal{V}^\circ$或$j_!\mathcal{V}^\circ$。
• 伴随函子$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$在$\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上的$\mathscr{D}$-模范畴与$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上的镜像$\mathscr{D}$-模范畴之间建立了导出等价，推广了吕施蒂格的特征层框架。
• $\mathsf{HC}$函子在镜像$\mathscr{D}$-模的阿贝尔范畴上是正合的，从而推广了经典哈里什-钱德拉函子的性质。
• 镜像哈里什-钱德拉$\mathscr{D}$-模$\mathcal{G}^{\theta,c}$定义为$\mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$，其整体截面构成球面对称赫尔曼代数$e\mathsf{H}_\kappa e$上的模。
• 通过已知的KZ单值性结果，对足够一般的$c$，猜想$\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$的de Rham局部系统同构于$\mathcal{R}_{\Theta,q}$已得证实。
• $\mathsf{H}_\kappa$-模$\mathcal{P}_{{\theta},c}$，对应于$\mathbb{H}(\mathcal{G}^{\theta,c})$，同构于$\mathsf{H}_\kappa \otimes_{{\mathbb{C}}[\check{\mathbb{T}}]\rtimes W} R_\Theta$，从而将单值性与KZ连接联系起来。