[论文解读] Geometric transitions, double scaling limits and gauge theories

Osvaldo P. Santillán|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文通过几何过渡将五维规范理论中U(1) Nekrasov路径积分的B模型解释与3-球面上Chern-Simons理论中的Ooguri-Vafa算符联系起来，建立了其关系。结果表明，阿贝尔Nekrasov函数作为矩阵模型的双重标度极限出现，该模型的谱曲线由包含Stieltjes-Wigert多项式和量子算符的Schrödinger型方程编码。

ABSTRACT

In the present work certain features of the Penner model, such its enumerative meaning and its relation to the Chern-Simons theory on the 3-sphere, are reviewed. Also, some features related to geometric transitions at the level of the observables are discussed. In this setup, the non commutative five dimensional U(1) Nekrasov partition function is interpreted as a limiting case of a mean value of the Ooguri-Vafa operator for a Chern-Simons model, which is dual to the A-model on a toric Calabi-Yau with $h_{1,1}=1$ and $h_{2,1}=2$. We work out a B-model interpretation of this identification explicitly by considering this model on the corresponding mirror geometries.

研究动机与目标

• 阐明Penner矩阵模型在S^3上Chern-Simons理论中的几何与枚举意义。
• 通过镜像对称与几何过渡，建立U(1) Nekrasov路径积分的B模型实现。
• 证明Penner模型的双重标度极限如何通过量子算符再现阿贝尔Nekrasov函数。
• 将矩阵模型中D-brane插入解释为A模型晶体图像中的缺陷，并将其与威尔逊环振幅关联。
• 表明在形变锥面（deformed conifold）上威尔逊环振幅的大N极限与解析几何的自由能一致，从而确认几何过渡。

提出的方法

• 使用Penner矩阵模型计算模空间的欧拉示性数，并通过双重标度极限将其与S^3上的Chern-Simons理论关联。
• 应用镜像对称性，将解析几何（h1,1=1, h2,1=2）上的A模型映射到镜像几何上的B模型。
• 通过在测度dμ(x) = e^{-g_s x^2} dx下引入涉及Stieltjes-Wigert多项式和正交多项式的算符，实现非紧致B-D-brane。
• 利用算符Ĥ(x, -g_s ∂_x)作用于D-brane波函数，推导出波函数的Schrödinger方程。
• 通过算符Q将B模型振幅映射到A模型，将D-brane实现为晶体模型中的半直线，并通过多对数函数计算振幅。
• 计算形变锥面上多个D-brane的威尔逊环振幅，并证明其大N极限在小耦合极限下与Nekrasov路径积分一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 Penner模型的双重标度极限如何再现五维U(1) Nekrasov路径积分？
• RQ2 从形变锥面到具有D-brane的解析锥面的几何过渡的B模型镜像描述是什么？
• RQ3 矩阵模型中D-brane插入如何对应于A模型晶体图像中的缺陷，以及与威尔逊环振幅的关系是什么？
• RQ4 在几何过渡的背景下，Ooguri-Vafa算符与Nekrasov路径积分之间的精确关系是什么？
• RQ5 在形变锥面上威尔逊环振幅的大N极限如何再现解析几何的自由能？

主要发现

• 五维阿贝尔Nekrasov路径积分被实现为具有h1,1=1和h2,1=2的toric Calabi-Yau流形上A模型对偶的Chern-Simons模型中Ooguri-Vafa算符的小耦合极限。
• B模型中单个D-brane的波函数由Stieltjes-Wigert多项式p_N(x)给出，其满足由镜像几何导出的量子哈密顿量的Schrödinger方程。
• 多D-brane振幅表示为Stieltjes-Wigert多项式矩阵的行列式，将单点函数推广至多个D-brane情形。
• 通过包含编码D-brane模参数的矩阵X的对数项，实现矩阵模型中D-brane的插入。
• 在形变锥面上多个D-brane的威尔逊环振幅的大N极限再现了解析几何的自由能，从而确认了几何过渡。
• 当Kähler模数相等（t1 = t2）时，威尔逊环振幅的对数与自由能仅相差一个常数项，验证了B模型设定下的Nekrasov极限。