[论文解读] Geometries with intransitive equivalence relation

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Relativity and Gravitational Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于形变、非对称等价关系的物理几何，以世界函数σ（平方距离的一半）作为基本几何元素。与传统公理化几何不同，该方法无需依赖坐标系或线性向量空间，即可描述具有有限可分性的离散、颗粒状时空——这对解释基本粒子性质至关重要。

ABSTRACT

One considers geometry with the intransitive equaivalence relation. Such a geometry is a physical geometry, i.e. it is described completely by the world function, which is a half of the squared distance function. The physical geometry cannot be axiomatized, in general. It is obtained as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. Class of physical geometries is more powerful, than the class of axiomatized geometries. The physical geometry admits one to describe such geometric properties as discreteness, granularity and limited divisibility. These properties are important in application to the space-time. They admits one to explain the discrimination properties of the space-time, which generate discrete parameters of elementary particles. Mathematical formalism of a physical geometry is very simple. The physical geometry is formulated in geometrical terms (in terms of points and world function) without a use of means of description (coordinate system, space dimension, manifold, etc.).

研究动机与目标

• 开发一种几何框架，描述与连续、公理化几何不相容的离散、颗粒状时空。
• 以世界函数σ的形变方法取代传统公理化几何，实现无法用标准公理化方法描述的物理几何。
• 通过非对称等价关系引发的多重变异性，解释基本粒子中离散参数的起源。
• 建立仅依赖世界函数、不使用微分方程的动力学几何基础，支持有限差分动力学。
• 通过世界链几何化质量与粒子组成，将物理几何与相对论和量子结构原理统一。

提出的方法

• 通过世界函数σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q)对标准欧几里得几何进行形变，将σ作为唯一几何原始元素构建物理几何。
• 完全基于σ定义几何对象与关系（如线段、角度、等价），避免使用坐标、流形或向量空间。
• 在点之间引入非对称等价关系，即P ~ Q与Q ~ R不蕴含P ~ R，由此产生多重变异性与几何颗粒性。
• 将复合粒子建模为世界链——一系列通过固定σ长度的链连接的点，其中质量由链长几何确定。
• 通过σ中的有限差分方程推导动力学，表明在弯曲几何中自由粒子的运动等价于闵可夫斯基空间中受场作用的运动。
• 确立物理几何在一般情况下不可公理化，但完全由σ决定，从而与射影几何或仿射几何等数学几何相区别。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用世界函数σ构建不依赖公理体系的物理几何？
• RQ2 几何关系中的非对称等价如何导致离散、颗粒状时空特性？
• RQ3 多重变异性在产生时空有限可分性及基本粒子离散参数中起什么作用？
• RQ4 能否完全通过世界函数的几何描述复合粒子的动力学，而无需引入外部场或量子形式？
• RQ5 通过σ对欧几里得几何的形变如何导致包含广义相对论与量子特征的一致物理几何？

主要发现

• 基于世界函数σ的物理几何在一般情况下不可公理化，与传统几何相区别，从而能够描述离散、颗粒状时空。
• 非对称等价关系导致多重变异性，这是时空颗粒性与有限可分性的几何根源。
• 基本粒子的质量与结构可几何定义为世界链中链的长度，从而无需波函数或量子算符。
• 自由复合粒子的动力学由σ中的有限差分方程描述，仅在特定极限条件下才退化为微分方程。
• 闵可夫斯基空间的几何可用于描述弯曲时空中的动力学，但其对应的是有效场中的运动，而非自由运动。
• 通过σ的形变方法可构建物理几何，无需检验公理一致性或证明定理，从而绕过欧几里得方法的局限性。