[论文解读] Geometry of rank 2 distributions with nonzero Wilczynski invariants and affine control systems with one input

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文为 $ℝ^n$ 中极大类的秩 2 分布（广义 Wilczynski 不变量非零）以及单输入仿射控制系统，基于异常极小轨道的规范参数化，发展了一套典范框架构造。通过利用 $¤\mathfrak{sl}_2¤$-表示理论与曲线的射影不变量，建立了与幂零逼近无关的 $(2n-3)$-维典范框架，且对 $ n \geq 5 $，完全刻画了对称模型的模空间。核心贡献在于，利用 Jacobi 曲线的辛几何，为这类系统提供了一个统一的、不变的几何框架。

ABSTRACT

We demonstrate how the novel approach to the local geometry of structures of nonholonomic nature, originated by Andrei Agrachev, works in the following two situations: rank 2 distributions of maximal class in R^n with non-zero generalized Wilczynski invariants and rank 2 distributions of maximal class in R^n with additional structures such as affine control system with one input spanning these distributions, sub-(pseudo)Riemannian structures etc. The common feature of these two situations is that each abnormal extremal (of the underlying rank 2 distribution) possesses a distinguished parametrization. This fact allows one to construct the canonical frame on a (2n-3)-dimensional bundle in both situations for arbitrary n greater than 4. The moduli spaces of the most symmetric models for both situations are described as well. The relation of our results to the divergence equivalence of Lagrangians of higher order is given

研究动机与目标

• 为 $ℝ^n$ 中极大类的秩 2 分布（广义 Wilczynski 不变量非零）发展一个典范框架，拓展至零不变量情形之外。
• 通过利用异常极小轨道的规范参数化，为单输入仿射控制系统建立一个几何框架。
• 利用辛不变量与 $¤\mathfrak{sl}_2¤$-表示理论，刻画两种情形下最对称模型的模空间。
• 通过利用 Jacobi 曲线的微分几何，统一不同几何结构（分布、次黎曼几何与控制系统）的典范框架构造。

提出的方法

• 该方法利用异常极小轨道的 Jacobi 曲线（位于拉格朗日子空间格拉斯曼流形上），提取辛不变量。
• 应用 $ℝ P^{n-2}$ 中曲线上的射影结构理论，特别是存在唯一至多 Möbius 变换的规范参数化。
• 该构造依赖于广义 Wilczynski 不变量非零，使得异常极小轨道存在一个特殊参数化，从而取代射影结构。
• 在 $(2n-3)$-维丛上，基于 $¤\mathfrak{sl}_2¤$-表示理论与 Jacobi 曲线辛曲率的结构，构建典范框架。
• 关键方程包括括号关系如 $[e, \varepsilon_1] = -\frac{1}{2}\varepsilon_1$ 与 $[h, \varepsilon_{2m}] = \sum_{i=1}^{m-1} (-1)^{i+1} r_i \varepsilon_{2(m-i)}$，这些关系决定了框架的结构。
• 该方法独立于幂零逼近与增长向量，而依赖于 Jacobi 曲线的内在几何及其辛不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当广义 Wilczynski 不变量非零时，如何为 $ℝ^n$ 中极大类的秩 2 分布构造典范框架？其框架丛的最小维数是多少？
• RQ2 异常极小轨道的规范参数化在非零不变量情形下，如何取代射影结构？
• RQ3 当广义 Wilczynski 不变量非零时，单输入仿射控制系统的典范框架构造与标准 Tanaka 延拓有何不同？
• RQ4 在分布与控制系统两种情形下，最对称模型的模空间是什么？其参数化方式如何？
• RQ5 典范框架构造在多大程度上独立于分布的幂零逼近与增长向量？

主要发现

• 为 $ℝ^n$ 中极大类的秩 2 分布（广义 Wilczynski 不变量非零）在所有 $ n \geq 5 $ 情形下，构造了在 $(2n-3)$-维丛上的典范框架。
• 该构造依赖于异常极小轨道存在规范参数化，当不变量非零时，该参数化取代了射影结构。
• 最对称模型的模空间被描述为元组 $ (r_1, \ldots, r_{n-3}) $ 的空间，其中 $ r_i $ 为从 Jacobi 曲线导出的辛曲率。
• 典范框架的结构函数完全由元组 $ (r_1, \ldots, r_{n-3}) $ 决定，所有非平凡括号关系均可表示为这些常数的函数。
• 该框架独立于幂零逼近与增长向量，因此适用于比经典 Tanaka 方法更广泛的分布类。
• 对于单输入仿射控制系统，正则性条件确保异常极小轨道的规范参数化定义良好，并在相同的 $(2n-3)$-维丛上导出唯一的典范框架。