[论文解读] Geometry of the minimal spanning tree of a random $3$-regular graph

Louigi Addario‐Berry, Sanchayan Sen|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 69被引用 5

一句话总结

该论文在 i.i.d. 连续边权下建立了随机 3-正则图上最小生成树（MST）的极限缩放，证明其在缩放因子为 $n^{-1/3}$ 时，依 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑收敛于一个随机紧致度量测度空间。该极限空间与完全图 $K_n$ 的 MST 缩放极限一致，仅相差一个 $6^{1/3}$ 的缩放因子，通过与临界 Erdős-Rényi 随机图的新型比较，将 universality 扩展至随机正则图。

ABSTRACT

The global structure of the minimal spanning tree (MST) is expected to be universal for a large class of underlying random discrete structures. However, very little is known about the intrinsic geometry of MSTs of most standard models, and so far the scaling limit of the MST viewed as a metric measure space has only been identified in the case of the complete graph [5]. In this work, we show that the MST constructed by assigning i.i.d. continuous edge-weights to either the random (simple) $3$-regular graph or the $3$-regular configuration model on $n$ vertices, endowed with the tree distance scaled by $n^{-1/3}$ and the uniform probability measure on the vertices, converges in distribution with respect to Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology to a random compact metric measure space. Further, this limiting space has the same law as the scaling limit of the MST of the complete graph identified in [5] up to a scaling factor of $6^{1/3}$. Our proof relies on a novel argument that proceeds via a comparison between a $3$-regular configuration model and the largest component in the critical Erdős-Rényi random graph. The techniques of this paper can be used to establish the scaling limit of the MST in the setting of general random graphs with given degree sequences provided two additional technical conditions are verified.

研究动机与目标

• 在 i.i.d. 连续边权下，建立随机 3-正则图上最小生成树（MST）的缩放极限。
• 证明 MST 缩放极限在不同随机图模型中的普遍性，特别是将已知的完全图 $K_n$ 的结果扩展至随机正则图。
• 开发一种新型比较技术，将 3-正则配置模型与临界 Erdős-Rényi 随机图的最大连通分量进行比较，以分析 MST 的几何结构。

提出的方法

• 使用 Gromov-Hausdorff-Prokhorov（GHP）拓扑分析由 MST 构成的度量测度空间的收敛性。
• 采用耦合论证，将 3-正则配置模型与临界 Erdős-Rényi 随机图进行比较，利用临界状态下已知的缩放极限结果。
• 应用环路破坏与修改的环路破坏过程，将 MST 的构建与随机图上的临界渗滤过程联系起来。
• 依赖于临界随机图中连通分量大小的收敛性，使用 [AddBroGolMie13] 和 [Bhamidi-Sen] 中关于 GHP 拓扑下树收敛性的结果。
• 使用基于子节点序列的树模型分析局部树结构，并推导 MST 中子树的渐近性质。
• 应用平面树在给定子节点序列下收敛结果的变体，证明缩放后的 MST 收敛于与完全图情形相同的极限空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的缩放下，随机 3-正则图的最小生成树是否收敛于一个普遍的极限度量测度空间，类似于完全图的情形？
• RQ2 随机 3-正则图中 MST 的内在几何结构是什么，特别是其直径和距离分布如何？
• RQ3 能否通过与临界 Erdős-Rényi 随机图的比较来建立随机正则图上 MST 缩放极限？
• RQ4 3-正则图上 MST 的极限空间与已知的完全图 $K_n$ 上 MST 缩放极限之间存在何种定量关系？
• RQ5 对于具有指定度序列的一般随机图，哪些技术条件足以将 MST 缩放极限推广至此类图？

主要发现

• 当以 $n^{-1/3}$ 缩放树距离并赋予顶点上的均匀测度时，随机 3-正则图的最小生成树在 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑下依分布收敛于一个随机紧致度量测度空间。
• 该极限空间的分布与 [AddBroGolMie13] 中确定的完全图 $K_n$ 的 MST 缩放极限相同，仅相差一个 $6^{1/3}$ 的缩放因子。
• 该证明建立了一种 3-正则配置模型与临界 Erdős-Rényi 随机图之间的新型联系，使得缩放极限结果得以转移。
• 该收敛性对简单随机 3-正则图和 3-正则配置模型均成立，且在 i.i.d. 连续边权下成立。
• 本文开发的技术可推广至具有给定度序列的一般随机图，前提是验证两个附加技术条件。
• MST 的直径按 $n^{1/3}$ 缩放，与统计物理中关于强无序复杂网络中最优路径的预测一致。