[论文解读] Geometry of theta divisors --- a survey

Samuel Grushevsky, Klaus Hulek|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用 7

一句话总结

本综述探讨了主极化阿贝尔簇（ppav）上theta除子的几何结构，重点关注由theta除子奇点定义的代数簇，如Andreotti-Mayer代数簇以及三次三复形的中间雅可比簇。通过退化技术和托里化紧化方法，计算了查沃环或上同调环中的cycle类，关键结果包括在特定层上theta函数的非零性，特别是对亏格5中非拟阵锥$σ_1$的详细分析。

ABSTRACT

We survey the geometry of the theta divisor and discuss various loci of principally polarized abelian varieties (ppav) defined by imposing conditions on its singularities. The loci defined in this way include the (generalized) Andreotti-Mayer loci, but also other geometrically interesting cycles such as the locus of intermediate Jacobians of cubic threefolds. We shall discuss questions concerning the dimension of these cycles as well as the computation of their class in the Chow or the cohomology ring. In addition we consider the class of their closure in suitable toroidal compactifications and describe degeneration techniques which have proven useful. For this we include a discussion of the construction of the universal family of ppav with a level structure and its possible extensions to toroidal compactifications. The paper contains numerous open questions and conjectures.

研究动机与目标

• 系统研究模空间$\mathcal{A}_g$中由theta除子奇点定义的代数簇。
• 研究这些代数簇的维数及其在查沃环或上同调环中的类，包括Andreotti-Mayer代数簇和中间雅可比簇代数簇。
• 将具有水平结构的ppav的普遍族延拓至托里化紧化，特别是第二Voronoi紧化。
• 应用退化技术计算cycle类，尤其针对三次三复形的中间雅可比簇代数簇。
• 解决theta除子及其奇点几何中的开放问题与猜想。

提出的方法

• 使用托里化紧化，特别是第二Voronoi分解，研究ppav及其theta除子的退化。
• 构造具有水平结构的ppav普遍族，并将其延拓至托里化紧化的边界层。
• 通过分析theta函数在边界层上的行为，利用退化方法计算cycle类。
• 将退化方法应用于三次三复形的中间雅可比簇代数簇，利用托里坐标系中的显式坐标展开。
• 通过计算机代数直接验证theta截面$\overline{f_m}$在亏格5中非拟阵锥$\sigma_1$对应的层上不恒为零。
• 利用对偶锥与托里坐标，将$t_{ij}$用$s_i$和$T_j$表示，从而实现theta函数的泰勒级数展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定维数或重数的具有奇异theta除子的ppav代数簇的维数及其在查沃环中的类是什么？
• RQ2 如何通过托里化紧化中的退化技术计算三次三复形中间雅可比簇代数簇的类？
• RQ3 为何亏格5中的非拟阵锥$\sigma_1$不在第二Voronoi分解中，如何验证其对应层上theta截面的非零性？
• RQ4 具有水平结构的ppav普遍族在托里化紧化上的结构是怎样的，其如何延拓至边界？
• RQ5 退化方法能否推广以研究由低维theta除子相切而产生的半阿贝尔theta除子的奇点？

主要发现

• 亏格5中的锥$\sigma_1$既不属于拟阵簇，也不属于第二Voronoi分解，但它是维数为5的基本锥。
• 对偶锥$\sigma_1^\vee$由15个元素生成，其中10个与$\sigma_1$正交，5个与一个生成元的配对值为1。
• 托里簇$T_{\sigma_1}$同构于$({\mathbb{C}}^*)^{10} \times {\mathbb{C}}^5$，其显式坐标$s_i$和$T_j$由$t_{ij}$导出。
• 计算机计算确认，对于496个奇2阶挠点$m$中的任意一个，截面$\overline{f_m}$在层$T_1 = \cdots = T_5 = 0$上不恒为零。
• 对应于$\sigma_1$的层未被基于第二Voronoi分解的标准退化技术覆盖，因此需要直接证明。
• 对$\sigma_1$的分析提供了一个罕见案例：可在非拟阵、非Voronoi锥上直接研究theta函数，从而扩展了退化方法的应用范围。