[论文解读] GESPAR: Efficient Phase Retrieval of Sparse Signals

Yoav Shechtman, Amir Beck+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用 8

一句话总结

GESPAR 是一种用于稀疏信号相位恢复的快速、贪心局部搜索算法，避免了矩阵提升，从而能够从傅里叶模值测量中高效恢复信号。它通过阻尼高斯-牛顿法迭代优化信号支撑集和相位，相较于现有的 Fienup 类算法和基于 SDP 的方法，在大规模一维和二维问题中表现出更高的精度和可扩展性。

ABSTRACT

We consider the problem of phase retrieval, namely, recovery of a signal from the magnitude of its Fourier transform, or of any other linear transform. Due to the loss of the Fourier phase information, this problem is ill-posed. Therefore, prior information on the signal is needed in order to enable its recovery. In this work we consider the case in which the signal is known to be sparse, i.e., it consists of a small number of nonzero elements in an appropriate basis. We propose a fast local search method for recovering a sparse signal from measurements of its Fourier transform (or other linear transform) magnitude which we refer to as GESPAR: GrEedy Sparse PhAse Retrieval. Our algorithm does not require matrix lifting, unlike previous approaches, and therefore is potentially suitable for large scale problems such as images. Simulation results indicate that GESPAR is fast and more accurate than existing techniques in a variety of settings.

研究动机与目标

• 通过利用信号稀疏性作为先验信息，解决相位恢复问题的病态性。
• 克服现有方法的局限性，例如 Fienup 类算法收敛缓慢以及基于 SDP 的方法计算成本过高。
• 开发一种适用于大规模问题（如二维图像恢复）的可扩展、高效算法。
• 在保持高成功率的前提下，实现对噪声或不完备测量的鲁棒恢复。
• 为大规模问题中不切实际的矩阵提升技术提供一种实用的替代方案。

提出的方法

• 将稀疏相位恢复建模为带有稀疏性约束的非凸、非线性优化问题。
• 采用贪心局部搜索策略，迭代更新信号的支撑集。
• 对于固定的支撑集，使用阻尼高斯-牛顿（DGN）算法最小化数据保真项。
• 在支撑集选择与 DGN 优化之间交替进行，以收敛至驻点。
• 通过直接在信号向量上优化，避免矩阵提升，从而降低计算复杂度。
• 应用一种基于梯度和海塞信息的阈值规则，选择新的支撑索引。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种快速、非基于 SDP 的算法，在一维和二维设置下实现高精度的稀疏相位恢复？
• RQ2 GESPAR 与 Fienup 类算法和基于 SDP 的方法相比，在性能和可扩展性方面表现如何？
• RQ3 可靠恢复所需的测量数如何随稀疏度变化？
• RQ4 GESPAR 对噪声和先验知识不精确的情况有多鲁棒？
• RQ5 GESPAR 能否在不使用矩阵提升的情况下，有效恢复大规模信号（如二维图像）？

主要发现

• GESPAR 可以以高概率从 $ N = 2n $ 个测量中恢复出稀疏度为 $ s $ 的信号，且所需测量数近似按 $ s^3 $ 增长。
• 对于 $ n = 512, s = 35 $，GESPAR 在 33.5 秒内完成恢复，迭代次数 $ ITER = 6400 $，在可扩展性方面显著优于基于 SDP 的方法。
• 在二维相位恢复中，GESPAR 可成功恢复至 $ s = 57 $（$ n = 6400 $），而稀疏-Fienup 在相同条件下仅能恢复至 $ s = 42 $。
• GESPAR 的计算时间近似与支撑集交换次数成线性关系，且平均交换次数随 $ s $ 和 $ n $ 呈对数增长。
• GESPAR 对噪声具有鲁棒性，即使缺乏自相关导出的支撑信息，也能表现良好。
• 在各种信号尺寸和稀疏度水平下，GESPAR 在一维和二维设置中的恢复成功率均高于稀疏-Fienup。