[论文解读] Gibbs and boltzmann entropy in classical and quantum mechanics

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 43被引用 19

一句话总结

本文在经典力学与量子力学中比较了吉布斯熵与玻尔兹曼熵，认为尽管两者在平衡态下给出相同的熵值，但玻尔兹曼熵（基于单个系统定义）更能体现热力学熵，尤其是在非平衡态及量子热化过程中。该研究支持个体主义（玻尔兹曼式）的平衡观，认为其与现代量子动力学一致。

ABSTRACT

The Gibbs entropy of a macroscopic classical system is a function of a probability distribution over phase space, i.e., of an ensemble. In contrast, the Boltzmann entropy is a function on phase space, and is thus defined for an individual system. Our aim is to discuss and compare these two notions of entropy, along with the associated ensemblist and individualist views of thermal equilibrium. Using the Gibbsian ensembles for the computation of the Gibbs entropy, the two notions yield the same (leading order) values for the entropy of a macroscopic system in thermal equilibrium. The two approaches do not, however, necessarily agree for non-equilibrium systems. For those, we argue that the Boltzmann entropy is the one that corresponds to thermodynamic entropy, in particular in connection with the second law of thermodynamics. Moreover, we describe the quantum analog of the Boltzmann entropy, and we argue that the individualist (Boltzmannian) concept of equilibrium is supported by the recent works on thermalization of closed quantum systems.

研究动机与目标

• 澄清经典与量子系统中吉布斯熵与玻尔兹曼熵在概念与物理上的差异。
• 评估哪种熵概念——基于系综的（吉布斯）或基于单个系统的（玻尔兹曼）——更符合热力学熵，特别是在非平衡态下。
• 研究玻尔兹曼熵的量子类比，并评估其与孤立量子系统中热化最新发现的兼容性。
• 论证在非平衡与量子领域中，个体主义（玻尔兹曼式）的热平衡观比基于系综（吉布斯式）的观更有物理基础。

提出的方法

• 使用吉布斯系综，将吉布斯熵表示为相空间上概率分布的泛函。
• 将玻尔兹曼熵定义为直接作用于相空间的函数，适用于单个系统而非系综。
• 在宏观系统热平衡的背景下比较两种熵的定义，表明其在主导阶值上一致。
• 分析非平衡系统，以揭示两种熵概念之间的差异，支持玻尔兹曼熵在热力学一致性上的优越性。
• 将玻尔兹曼熵概念扩展至量子力学，识别其量子类比为纯态中的本征态基熵。
• 依赖近期关于孤立量子系统中热化的理论与数值结果，以支持个体主义平衡概念的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典力学中，吉布斯熵与玻尔兹曼熵在定义与物理诠释上存在哪些差异？
• RQ2 在何种条件下吉布斯熵与玻尔兹曼熵给出相同值，又在何种情况下出现分歧？
• RQ3 在非平衡过程中，哪种熵概念——吉布斯型或玻尔兹曼型——更符合热力学熵？
• RQ4 玻尔兹曼熵的量子类比是什么？它与孤立量子系统中的热化有何关联？
• RQ5 个体主义（玻尔兹曼式）的平衡观是否在现代量子统计力学中得到支持？

主要发现

• 对于处于热平衡的宏观系统，吉布斯熵与玻尔兹曼熵在主导阶值上一致，确认了其在平衡态下的统一性。
• 在非平衡态下，两种熵概念未必一致，且玻尔兹曼熵更符合热力学第二定律的物理直觉。
• 玻尔兹曼熵被论证为正确描述热力学熵的物理量，尤其在非平衡动力学中更具优势。
• 玻尔兹曼熵的量子类比被识别为本征态基熵，其在孤立系统的纯量子态中自然浮现。
• 近期关于孤立量子系统中热化的理论工作支持个体主义（玻尔兹曼式）的平衡概念，而非基于系综（吉布斯式）的方法。
• 本文结论认为，玻尔兹曼框架在经典与量子领域中，对热平衡的描述更具连贯性与物理意义。