[论文解读] Givental J-functions, Quantum integrable systems, AGT relation with surface operator

Satoshi Nawata|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用 6

一句话总结

该论文通过AGT关系，精确建立了具有完整表面算符的4d $υ=2$规范理论与量子可积系统之间的对应关系，利用超对称局部化和链锯奎iver表示推导出精确的Nekrasov路径振幅。它将表面算符上的涡旋路径振幅识别为旗流形余切丛的Givental $J$-函数，并证明了一个关于格拉斯曼流形的量子联络与射影空间 $J$-函数的楔积之间联系的猜想。

ABSTRACT

We study 4d $\mathcal{N}=2$ gauge theories with a co-dimension two full surface operator, which exhibit a fascinating interplay of supersymmetric gauge theories, equivariant Gromov-Witten theory and geometric representation theory. For pure Yang-Mills and $\mathcal{N}=2^*$ theory, we describe a full surface operator as the 4d gauge theory coupled to a 2d $\mathcal{N}=(2,2)$ gauge theory. By supersymmetric localizations, we present the exact partition functions of both 4d and 2d theories which satisfy integrable equations. In addition, the form of the structure constants with a semi-degenerate field in SL(N,R) WZNW model is predicted from one-loop determinants of 4d gauge theories with a full surface operator via the AGT relation.

研究动机与目标

• 通过超对称局部化推导具有完整表面算符的4d $υ=2$纯杨-米尔斯理论和 $υ=2^*$ 理论的精确Nekrasov路径振幅。
• 将表面算符上的2d涡旋路径振幅识别为旗流形余切丛的Givental $J$-函数。
• 建立 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ 的量子联络与 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 的量子联络的 $r$-重楔积之间的对应关系，通过显式 $J$-函数表达式证实一个猜想。
• 通过AGT关系，从具有表面算符的4d规范理论的一圈修正行列式预测 $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW模型的结构常数。

提出的方法

• 使用超对称局部化计算具有表面算符的4d $υ=2$规范理论和耦合到4d本体的2d $(2,2)$ 规范理论的精确路径振幅。
• 采用链锯奎iver表示将瞬子模空间描述为仿射Laumon空间，等价于 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}/\mathbb{Z}_M)$ 上的瞬子模空间。
• 以等变参数、陈根和质量参数表示Nekrasov路径振幅的围道积分表达式。
• 通过在目标空间为旗流形余切丛的 $T^*\mathrm{Fl}(\vec{d})$ 上对2d $(2,2)^*$ 非线性sigma模型进行Higgs分支局部化，计算涡旋路径振幅。
• 使用Pochhammer符号和微分算子显式表达 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 和 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ 的 $J$-函数。
• 通过证明 $J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)]$ 是通过Vandermonde微分算子作用于 $J[T^*\mathbb{P}^{N-1}]$ 函数乘积并引入涉及质量参数 $m$ 的修正因子而得到，从而证明了Hori与Vafa的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有完整表面算符的4d $υ=2$规范理论的Nekrasov路径振幅如何与旗流形的Givental $J$-函数相关联？
• RQ2 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ 的量子联络能否表示为 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 的量子联络的楔积？
• RQ3 表面算符上的涡旋路径振幅与相应2d目标空间的 $J$-函数之间的确切关系是什么？
• RQ4 通过AGT对应关系，具有表面算符的4d规范理论的一圈修正行列式如何预测 $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW模型的结构常数？
• RQ5 链锯奎iver在实现具有表面算符边界条件的瞬子模空间中起什么作用？

主要发现

• 在 $T^*\mathrm{Fl}(\vec{d})$ 上的 $\mathcal{N}=(2,2)^*$ 非线性sigma模型的涡旋路径振幅由包含等变参数和质量参数的Pochhammer符号的围道积分表达式给出。
• $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 的 $J$-函数显式计算为 $J[T^*\mathbb{P}^{N-1}] = \sum_k z^k \frac{(\hbar^{-1}H - \hbar^{-1}m)^N_k}{(1 + \hbar^{-1}H)^N_k}$，满足量子微分方程 $[(z\partial_z)^N - z(z\partial_z - \hbar^{-1}m)^N]J = 0$。
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ 的 $J$-函数被推导为 $r$ 个 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 的 $J$-函数的乘积，经由微分算子和涉及 $m$ 的修正因子修正。
• 通过证明 $J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)] = \prod_{s<t} \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t}}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t} \left[ \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t} + 1 + \hbar^{-1}m}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t + 1 + \hbar^{-1}m} \right]^{-1} J[\mathbb{T}^*\mathbb{P}](z_1,\dots,z_r)\big|_{z_s = z}$，证实了Hori与Vafa的猜想。
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ 的 $J$-函数被证明是 $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ 的 $J$-函数的 $r$-重楔积，确认了Galkin与Ueda的近期结果。
• 通过AGT关系，从具有完整表面算符的4d $υ=2^*$ 规范理论的一圈修正行列式，预测了含半退化场的 $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNW模型的结构常数。