[论文解读] Gluing constructions for Lorentzian length spaces

Tobias Beran, Felix Rott|PubMed|Jan 24, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一种洛伦兹型长度空间的粘合构造，通过精心定义商时间分离函数，将度量拼接推广至洛伦兹几何设定。关键结果是雷斯捷尼亚克粘合定理的洛伦兹型类比，证明了将两个具有上曲率界且强因果性的时空沿凸的、等距相容的边界粘合后，所得空间仍保持曲率界。

ABSTRACT

We introduce an analogue to the amalgamation of metric spaces into the setting of Lorentzian pre-length spaces. This provides a very general process of constructing new spaces out of old ones. The main application in this work is an analogue of the gluing theorem of Reshetnyak for CAT(<i>k</i>) spaces, which roughly states that gluing is compatible with upper curvature bounds. Due to the absence of a notion of spacelike distance in Lorentzian pre-length spaces we can only formulate the theorem in terms of (strongly causal) spacetimes viewed as Lorentzian length spaces.

研究动机与目标

• 开发一种类似于度量空间拼接的合成性、基于度量的洛伦兹型预长度空间粘合构造。
• 解决在商空间中保持因果性和时间分离的挑战，这比黎曼几何或度量几何中的情况更为复杂。
• 建立雷斯捷尼亚克粘合定理的洛伦兹型版本，确保在粘合过程中上曲率界（CAT(k)）得以保持。
• 提供一种从已有时空构造新时空的框架，同时保持合成曲率条件与因果结构。
• 通过引入如粘合等基本度量构造，弥合合成洛伦兹几何中的理论空白，这些构造在黎曼几何与度量几何中是标准的。

提出的方法

• 将度量空间拼接过程（不相交并集后在等价关系下取商）适配至洛伦兹设定，特别关注时间分离函数。
• 定义一个尊重因果性和洛伦兹结构的商时间分离函数，确保所得空间仍为洛伦兹型预长度空间。
• 提出亚历山大罗夫引理的洛伦兹型版本以及用于因果三角形的粘合引理，以处理粘合空间中的比较几何。
• 建立粘合空间继承原始时空上曲率界（CAT(k)）的条件，依赖于粘合边界具有的凸性与等距相容性。
• 利用类时测地线的存在性与时间分离函数的连续性，验证粘合空间中三角形比较条件的成立。
• 对穿越粘合边界的类时三角形使用分解论证，将其拆分为位于原始时空内部的子三角形，其中曲率界被假设成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将黎曼几何与度量几何中的度量拼接构造推广至洛伦兹型预长度空间，同时保持因果性与曲率界？
• RQ2 如何定义一种商时间分离函数，使其在粘合空间中保持洛伦兹结构与因果相容性？
• RQ3 在何种条件下，将两个具有上曲率界（CAT(k)）的时空粘合，可得到一个同样满足相同曲率界的时空？
• RQ4 粘合边界的凸性与符号距离保持在确保粘合定理有效性方面起什么作用？
• RQ5 能否在洛伦兹设定中形式化并证明三角形粘合引理？它如何支持曲率比较论证？

主要发现

• 本文成功地通过在商空间上定义相容的时间分离函数，从两个时空构造出一个商洛伦兹型预长度空间，确保所得空间仍为定义良好的洛伦兹型长度空间。
• 建立了洛伦兹型版本的粘合引理，使得能够通过将穿越粘合边界的因果三角形分解为原始时空内的子三角形，实现对这些三角形的比较。
• 主要结果，定理 5.2.1，证明了若两个具有上曲率界（CAT(k)）的强因果时空沿凸的、等距相容的边界（保持符号距离）粘合，则所得空间同样满足相同的 CAT(k) 曲率界。
• 该证明依赖于将穿越粘合边界的三角形分解为完全位于各自时空内的子三角形，其中曲率界被假设成立，再通过粘合引理重新组合。
• 该构造在较弱的正则性假设下成立，且基于先前工作的技术，预计可推广至 $ C^{1,1} $ 度量。
• 该框架提供了一种合成性、基于度量的方法，用于从已有时空构造新时空，填补了洛伦兹型长度空间理论中的空白。