[论文解读] Goodness of fit of logistic models for random graphs

Pierre Latouche, Stéphane Robin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文通过变分贝叶斯推断整合灵活的残差图函数项，提出了一种用于二元网络中逻辑斯蒂回归模型的贝叶斯拟合优度框架。该方法通过估计残差图函数为常数的后验概率，评估协变量是否完全解释了网络拓扑结构，应用实例表明其能检测出真实网络中未被解释的结构。

ABSTRACT

Logistic regression is a natural and simple tool to understand how covariates contribute to explain the topology of a binary network. Once the model fitted, the practitioner is interested in the goodness-of-fit of the regression in order to check if the covariates are sufficient to explain the whole topology of the network and, if they are not, to analyze the residual structure. To address this problem, we introduce a generic model that combines logistic regression with a network-oriented residual term. This residual term takes the form of the graphon function of a W-graph. Using a variational Bayes framework, we infer the residual graphon by averaging over a series of blockwise constant functions. This approach allows us to define a generic goodness-of-fit criterion, which corresponds to the posterior probability for the residual graphon to be constant. Experiments on toy data are carried out to assess the accuracy of the procedure. Several networks from social sciences and ecology are studied to illustrate the proposed methodology.

研究动机与目标

• 解决二元网络分析中逻辑斯蒂回归模型缺乏正式拟合优度评估的问题。
• 检测在观测协变量条件下的残差网络结构。
• 为网络拓扑中的未解释异质性提供可视化与定量度量。
• 为结合逻辑斯蒂回归与W-图的混合模型开发可扩展的贝叶斯推断程序。
• 使实践者能够评估协变量是否足以解释网络形成机制。

提出的方法

• 提出一种混合模型，结合逻辑斯蒂回归与W-图残差项，以捕捉未被解释的网络结构。
• 采用变分贝叶斯期望最大化（VBEM）框架，近似块状常数图函数的后部分布。
• 将残差图函数为常数（即无残差结构）的后验概率估计作为拟合优度准则。
• 采用两阶段变分近似：第一阶段用于潜块结构，第二阶段使用泰勒展开近似边缘似然。
• 使用社区模型（SBM）作为W-图的有限近似，通过增加块数以探索残差复杂度。
• 利用估计的图函数 $ g ullet ilde{ heta} $ 可视化在考虑协变量后的残差网络模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否正式检验逻辑斯蒂回归模型中的协变量是否完全解释了二元网络的拓扑结构？
• RQ2 在条件依赖于观测协变量后，仍存在哪些残差网络结构？
• RQ3 如何量化残差网络结构为零（即图函数为常数）的后验概率？
• RQ4 我们能否利用灵活的非参数残差模型，可视化并解释现实世界网络中未被解释的异质性？
• RQ5 协变量的引入如何影响残差网络结构的可检测性？

主要发现

• 对于博客网络，后验概率 $ ilde{p}(H_0|Y) $ 接近于零（例如，3.60e-172），表明对零假设（残差图函数为常数）存在强烈证据反对。
• 对于空手道网络，$ ilde{p}(H_0|Y) = 3.38 \times 10^{-2} $，表明仅靠协变量不足以解释网络结构。
• 在佛罗伦萨婚姻与商业网络中，$ ilde{p}(H_0|Y) $ 分别为 0.995 和 0.991，表明协变量完全解释了网络拓扑。
• 对于FauxDixon高中与CKM网络，$ ilde{p}(H_0|Y) = 1 $，确认协变量之外无残差结构。
• 对 $ g ullet ilde{ heta} $ 的可视化显示，加入协变量后残差图函数简化（例如，减少对角峰），但在博客、树木与AddHealth网络中仍存在非恒定模式。
• 该方法成功检测到在生态与社会网络中协变量不足时的残差结构，例如涉及真菌寄生虫相互作用的树木网络。